微積分基本定理

這個視覺化中的微積分基本定理

如何正確閱讀

• 面積有正負號。$f < 0$ 的區域計為負值，因此 $A$ 下降；當 $x < a$ 時，積分方向反轉，所有正負號也反轉。$f$ 變號的零點，對應 $A$ 的峰頂或谷底；沒有變號的零點則不是。
• 定理要求 $f$ 在 $x$ 處連續。$f$ 跳躍的地方，$A$ 仍連續，卻有角點：兩側斜率分別是 $f$ 的單側極限，而 $A'(x)$ 不存在。對本頁的階梯函數，$A$ 要分段積分；沒有一個反導函數能跨越這個跳躍。
• 改變 $a$ 只會加上一個常數：$A(x) = F(x) - F(a)$。當 $f$ 連續時，每個面積函數都是反導函數，但並非每個反導函數都是面積函數：對 $f = \cos$，$\sin x + 5$ 不可能是 $\int_a^x \cos t\,dt$，因為那需要 $\sin a = -5$。
• 字母 $t$ 只是積分變數；$x$ 才是面積累積到的位置。本頁的數值來自面積公式 $F(x) - F(a)$，階梯函數則分段計算，並非數值加總。對 $e^{-t^2}$，公式使用誤差函數 $\operatorname{erf}$。

應用在哪裡

• 計算定積分：找到任一反導函數，取端點值相減，就不必求黎曼和的極限。
• 累積：位移是速度的積分，而位移的變化率就是速度本身。（行經距離則是速率 $|v|$ 的積分。）
• 定義新函數：例如 $\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}$，以及無法用初等函數表示的 $\int_0^x e^{-t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf} x$；定理仍能給出它的導數 $e^{-x^2}$。

操作方式

• 在任一圖上拖曳可移動 $x$，拖曳上方座標軸的 $a$ 標記可移動下限；積分上下限區各有一個微調輪及常用值按鈕，可精細調整或精確跳至常用值（π 仍是 π）。
• 窄條區的對數滑桿可將寬度 $\Delta x$ 從 1 調至 0.0001（直接輸入可小至 0.000001）；切換桿可把窄條放在 $x$ 的右側、左側或兩側。Δx → 0 每一步把窄條縮至原寬度的十分之一，逐步暫停，最後停留；此時再按一次，會從 0.5 重新開始。
• 簡報模式開啟適合投影的全螢幕視圖（空白鍵執行 Δx → 0，↑ ↓ 把窄條放寬 10 倍或縮窄至十分之一，← → 移動 $x$，H 隱藏淡色顯示的 $A$ 其餘部分、切線及斜率）。

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