Math

微積分 · 導數

導數

導數衡量函數在一點變化得多快：它就是該處切線的斜率。讓 Q 靠近 P，觀察割線斜率是否趨近同一個有限值。

01

本頁中的導數

函數 ff 在 aa 處的導數，記為 f′(a)f'(a)，或在 x=ax = a 處記為 dfdx\frac{df}{dx}，就是該處圖形的切線斜率：ff 的瞬時變化率。它定義為割線斜率的極限。本頁在光滑曲線、角點、尖點、鉛直切線、跳躍，以及位置—時間圖上逐步呈現這個極限。

藍色的 P 點位於曲線的 x=ax = a 處，紅色的 Q 點位於 x=a+hx = a + h 處。通過兩點的黃色直線是割線；它的斜率就是差商

差商
f(a+h)−f(a)h=ΔyΔx.\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{\Delta y}{\Delta x}.

當此極限存在且有限時，P 處的切線斜率等於導數：

導數
f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h.f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Q 滑向 P 時，割線趨近切線，斜率也趨近 f′(a)f'(a)。無論 Q 從左側還是右側靠近，極限都必須相同。本頁不會讓 hh 到達 0，因為此時商會成為 0/00/0。以 x0x_0 代替 aa、Δx\Delta x 代替 hh，導數也可寫成 f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔxf'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}。

02

值得觀察的地方

  • 對 x2x^2、x3−3xx^3 - 3x、sin⁡x\sin x 與 exe^x，兩側的斜率都趨近同一個數。
  • ∣x∣|x| 在 0 處：兩側分別趨近 −1-1 與 +1+1。角點處沒有導數，雖然函數在那裡連續。
  • x2/3x^{2/3} 在 0 處：−∞-\infty 與 +∞+\infty，形成尖點。
  • x3\sqrt[3]{x} 在 0 處：兩側都無限增大。切線鉛直，因此沒有有限導數。
  • 在 1 處跳躍的範例：不連續的函數不可能可微分。
03

應用在哪裡

  • 速度是位置的導數，就像本頁的運動模式。一般而言，導數是任意量的變化率：經濟學的邊際成本、化學的反應速率、生物學的成長率。
  • 在 aa 附近，切線給出最佳的直線近似 f(a+h)≈f(a)+f′(a) hf(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h。牛頓法求解方程式時，就是沿著這樣的切線前進。
  • 可微分函數在區間內部的極大值或極小值處滿足 f′=0f' = 0：這是微積分找出最佳值的方法。
04

操作方式

  • 拖曳 Q，或使用面板上的 |h| 滑桿或 h → 0 按鈕，改變 hh。左／右決定正負號。
  • 拖曳 P，或轉動點旋鈕，移動 aa。拖曳背景可平移視圖；用 + 與 − 縮放。
  • 比較與記錄會開啟視窗，繪出兩側割線斜率隨 hh 的變化，並收集逼近過程中的數值。關閉視窗時，仍會繼續收集。
  • 運動模式將曲線改為位置 s(t)s(t)：割線斜率成為平均速度，導數成為瞬時速度 v(t)=s′(t)v(t) = s'(t)。
  • 簡報模式會開啟適合投影機的全螢幕畫面，提供大字體與鍵盤操作（空白鍵執行 h → 0，Page Up／Page Down 切換精選視角，H 隱藏導數）。
05

相關概念

延伸閱讀: 維基百科: Derivative (英文); OpenStax, Calculus Volume 1, 3.1 Defining the Derivative (英文).