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Cálculo · Derivadas

Derivada

Una derivada mide la rapidez con que cambia una función en un punto: es la pendiente de la tangente en él. Acerca Q a P y observa si las pendientes de las secantes se aproximan a un único valor finito.

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La derivada en esta visualización

La derivada de una función ff en un punto aa, escrita f′(a)f'(a) o dfdx\frac{df}{dx} en x=ax = a, es la pendiente de la tangente a la gráfica en ese punto: la tasa de variación instantánea de ff. Se define como un límite de pendientes de secantes. Esta página construye ese límite en curvas suaves, puntos angulosos, cúspides, tangentes verticales y saltos, y en una gráfica de posición frente al tiempo.

El punto azul P está en la curva en x=ax = a, y el punto rojo Q, en x=a+hx = a + h. La recta amarilla que los une es una secante; su pendiente es el cociente incremental

Cociente incremental
f(a+h)−f(a)h=ΔyΔx.\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{\Delta y}{\Delta x}.

La tangente en P tiene una pendiente igual a la derivada, cuando este límite existe y es finito:

Derivada
f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h.f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Al deslizar Q hacia P, la secante se convierte en la tangente y su pendiente se aproxima a f′(a)f'(a). El límite debe ser el mismo tanto si Q llega por la izquierda como por la derecha. La página nunca deja que hh llegue a 0, donde el cociente sería 0/00/0. Con x0x_0 para aa y Δx\Delta x para hh, la derivada también se escribe f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔxf'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.

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En qué fijarse

  • En x2x^2, x3−3xx^3 - 3x, sin⁡x\sin x y exe^x, las pendientes por ambos lados se aproximan al mismo número.
  • ∣x∣|x| en 0: los dos lados se aproximan a −1-1 y +1+1. En un punto anguloso no hay derivada, aunque la función sea continua en él.
  • x2/3x^{2/3} en 0: −∞-\infty y +∞+\infty, una cúspide.
  • x3\sqrt[3]{x} en 0: ambos lados crecen sin límite. La tangente es vertical, así que no hay derivada finita.
  • El ejemplo de salto en 1: una función que no es continua no puede ser derivable.
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Dónde se utiliza

  • La velocidad es la derivada de la posición, como en el modo Movimiento de la página. En general, la derivada es la tasa de variación de cualquier magnitud: el coste marginal en economía, la velocidad de reacción en química o la tasa de crecimiento en biología.
  • Cerca de aa, la tangente es la mejor aproximación mediante una recta, f(a+h)≈f(a)+f′(a) hf(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h. El método de Newton para resolver ecuaciones sigue tangentes como esta.
  • En un máximo o mínimo interior de un intervalo, una función derivable cumple f′=0f' = 0: así encuentra el cálculo el mejor valor.
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Controles

  • Arrastra Q, o usa el deslizador |h| o el botón h → 0 del panel, para cambiar hh. Izquierda / Derecha determina su signo.
  • Arrastra P o gira el mando Punto para mover aa. Arrastra el fondo para desplazar la vista; usa + y − para ampliar o reducir.
  • Comparar y registrar abre una ventana que representa la pendiente de la secante frente a hh por ambos lados y recopila los valores obtenidos durante la aproximación. Los valores siguen recopilándose aunque la ventana esté cerrada.
  • Movimiento convierte la curva en una posición s(t)s(t): la pendiente de la secante pasa a ser una velocidad media; la derivada, la velocidad instantánea v(t)=s′(t)v(t) = s'(t).
  • Modo presentación abre una vista a pantalla completa para proyectores, con letra grande y control mediante el teclado (Espacio ejecuta h → 0, RePág / AvPág recorre las vistas destacadas y H oculta la derivada).
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Conceptos relacionados

Para saber más: Wikipedia: Derivative (Inglés); OpenStax, Calculus Volume 1, 3.1 Defining the Derivative (Inglés).