Math

Diferansiyel ve integral hesap · Türevler

Türev

Türev, bir fonksiyonun bir noktada ne kadar hızlı değiştiğini ölçer: o noktadaki teğetin eğimidir. Q noktasını P'ye yaklaştırın ve kesen eğimlerinin tek bir sonlu değere yaklaşıp yaklaşmadığını izleyin.

01

Bu görselleştirmede türev

Bir ff fonksiyonunun aa noktasındaki türevi, f′(a)f'(a) veya x=ax = a noktasında dfdx\frac{df}{dx} ile gösterilir. Grafiğin o noktadaki teğet doğrusunun eğimidir: ff için anlık değişim hızıdır. Kesen doğrularının eğimlerinin limiti olarak tanımlanır. Bu sayfa bu limiti düzgün eğrilerde, köşelerde, sivri uçlarda, dikey teğetlerde, sıçramalarda ve bir konum–zaman grafiğinde kurar.

Mavi P noktası eğri üzerinde x=ax = a konumunda, kırmızı Q noktası x=a+hx = a + h konumundadır. İkisinden geçen sarı doğru bir kesen doğrusudur; eğimi şu fark oranıdır:

Fark oranı
f(a+h)−f(a)h=ΔyΔx.\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{\Delta y}{\Delta x}.

Bu limit var ve sonluysa P noktasındaki teğet doğrusunun eğimi türeve eşittir:

Türev
f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h.f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Q, P'ye yaklaştıkça kesen teğete dönüşür ve eğimi f′(a)f'(a) değerine yaklaşır. Q ister soldan ister sağdan gelsin limit aynı olmalıdır. Sayfa, oranın 0/00/0 olacağı 0 değerine hh değişkeninin ulaşmasına izin vermez. aa için x0x_0 ve hh için Δx\Delta x kullanıldığında türev f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔxf'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} olarak da yazılır.

02

Dikkat edilecekler

  • x2x^2, x3−3xx^3 - 3x, sin⁡x\sin x ve exe^x için iki taraftan eğimler aynı sayıya yaklaşır.
  • 0 noktasında ∣x∣|x|: iki taraf −1-1 ve +1+1 değerlerine yaklaşır. Fonksiyon köşede sürekli olsa da türevi yoktur.
  • 0 noktasında x2/3x^{2/3}: −∞-\infty ve +∞+\infty, bir sivri uç.
  • 0 noktasında x3\sqrt[3]{x}: her iki tarafta da eğim sınırsız büyür. Teğet dikey olduğundan sonlu türev yoktur.
  • 1 noktasındaki sıçrama örneği: sürekli olmayan bir fonksiyon türevlenebilir olamaz.
03

Nerede kullanılır?

  • Hız, sayfanın Hareket modunda olduğu gibi konumun türevidir. Genel olarak türev herhangi bir niceliğin değişim hızıdır: ekonomide marjinal maliyet, kimyada tepkime hızı, biyolojide büyüme hızı.
  • aa yakınında teğet doğrusu en iyi doğrusal yaklaşımdır: f(a+h)≈f(a)+f′(a) hf(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h. Denklem çözmek için kullanılan Newton yöntemi bu tür teğet doğrularını izler.
  • Bir aralığın içindeki maksimum veya minimum noktasında, türevlenebilir bir fonksiyon için f′=0f' = 0 olur: diferansiyel hesap en iyi değeri böyle bulur.
04

Kontroller

  • hh değerini değiştirmek için Q'yu sürükleyin veya paneldeki |h| sürgüsünü ya da h → 0 düğmesini kullanın. İşaretini Sol / Sağ belirler.
  • aa değerini değiştirmek için P'yi sürükleyin veya Nokta düğmesini çevirin. Arka planı sürükleyerek kaydırın; + ve − ile yakınlaştırıp uzaklaştırın.
  • Karşılaştır ve kaydet, her iki tarafta kesen eğiminin hh ile değişimini çizen ve yaklaşma sırasında oluşan değerleri toplayan bir pencere açar. Pencere kapalıyken de değerler toplanır.
  • Hareket, eğriyi s(t)s(t) konumuna dönüştürür: kesen eğimi ortalama hıza, türev ise v(t)=s′(t)v(t) = s'(t) anlık hızına dönüşür.
  • Sunum modu, projektörler için büyük yazılı, klavyeyle kontrol edilen tam ekran bir görünüm açar (Boşluk h → 0 işlemini çalıştırır, Page Up / Page Down öne çıkanlar arasında geçiş yapar, H türevi gizler).
05

İlgili konular

Ek okumalar: Vikipedi: Derivative (İngilizce); OpenStax, Calculus Volume 1, 3.1 Defining the Derivative (İngilizce).