Производная: интерактивная визуализация

Производная в этой визуализации

Производная функции $f$ в точке $a$ , обозначаемая $f'(a)$ или $\frac{df}{dx}$ при $x = a$ , — это наклон касательной к графику в этой точке: мгновенная скорость изменения $f$ . Она определяется как предел наклонов секущих. Здесь этот предел строится на гладких кривых, в угловых точках, остриях, у вертикальных касательных и скачков, а также на графике положения от времени.

Синяя точка P лежит на кривой при $x = a$ , красная точка Q — при $x = a + h$ . Проходящая через них жёлтая прямая — секущая; её наклон равен разностному отношению

Разностное отношение

\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{\Delta y}{\Delta x}.

Наклон касательной в P равен производной, если этот предел существует и конечен:

Производная

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Когда Q скользит к P, секущая приближается к касательной, а её наклон — к $f'(a)$ . Предел должен быть одинаковым при приближении Q как слева, так и справа. Здесь $h$ не достигает 0, где отношение имело бы вид $0/0$ . Если вместо $a$ писать $x_0$ , а вместо $h$ — $\Delta x$ , производная также записывается как $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ .

На что обратить внимание

Для $x^2$ , $x^3 - 3x$ , $\sin x$ и $e^x$ наклоны с обеих сторон стремятся к одному числу.
$|x|$ в 0: с двух сторон получаются пределы $-1$ и $+1$ . В угловой точке производной нет, хотя функция в ней непрерывна.
$x^{2/3}$ в 0: $-\infty$ и $+\infty$ — остриё.
$\sqrt[3]{x}$ в 0: наклоны с обеих сторон неограниченно растут. Касательная вертикальна, поэтому конечной производной нет.
Пример со скачком в 1: разрывная функция не может быть дифференцируемой в точке разрыва.

Где это применяется

Скорость — производная положения, как в режиме Движение на этой странице. Вообще производная — скорость изменения любой величины: предельные издержки в экономике, скорость реакции в химии, скорость роста в биологии.
Вблизи $a$ касательная даёт наилучшее линейное приближение, $f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h$ . Метод Ньютона для решения уравнений следует таким касательным.
В точке максимума или минимума внутри интервала у дифференцируемой функции $f' = 0$ : так математический анализ находит наилучшее значение.

Управление

Перетаскивайте Q или используйте ползунок |h| либо кнопку h → 0 на панели, чтобы менять $h$ . Слева / Справа задаёт знак.
Перетаскивайте P или вращайте ручку Точка, чтобы менять $a$ . Перетаскивайте фон для сдвига вида; кнопки + и − меняют масштаб.
Сравнение и запись открывает окно с графиком наклона секущей в зависимости от $h$ с обеих сторон и значениями, записанными при приближении. Значения записываются и при закрытом окне.
Режим Движение превращает кривую в график положения $s(t)$ : наклон секущей становится средней скоростью, производная — мгновенной скоростью $v(t) = s'(t)$ .
Режим презентации открывает полный экран для проектора с крупным текстом и управлением с клавиатуры (Пробел запускает h → 0, Page Up / Page Down переключают примеры, H скрывает производную).

Связанные темы

D06Функция производной
D07Линейное приближение
D10Связанные скорости измененияПланируется
D01Предел

Дополнительные материалы: Википедия: Derivative (Английский); OpenStax, Calculus Volume 1, 3.1 Defining the Derivative (Английский).