Линейное приближение

Линейное приближение функции $f$ в точке $a$, также называемое приближением касательной или локальной линеаризацией, — касательная $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$. Оно существует, если $f$ дифференцируема в $a$. Другая запись — $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x$, где вместо $a$ используется $x_0$. Здесь показаны семь функций: четыре гладкие и три не дифференцируемые в 0.

График центрирован по горизонтали на синей точке P $= (a, f(a))$, масштабы осей одинаковы. Красный шаг Δx также задаёт увеличение: область просмотра сжимается вместе с ним и при необходимости расширяется, чтобы P, подъём касательной и Q оставались видны. За этот шаг касательная поднимается на синий дифференциал $dy = f'(a)\,\Delta x$, а кривая — на $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$. Жёлтая стрелка — погрешность:

Функция дифференцируема в $a$ тогда и только тогда, когда существует конечное число $m$, для которого $f(a + h) - f(a) - m h = o(|h|)$, то есть погрешность, делённая на $h$, стремится к 0 при $h \to 0$ с обеих сторон; тогда $m = f'(a)$. Страница рисует шаг только вправо ($h = \Delta x > 0$), поэтому изображение иллюстрирует это, а не доказывает; существование касательной определяется формулой каждой функции. Поскольку вид сжимается вместе с $\Delta x$, величина $|E|/\Delta x$ примерно показывает, на какую долю размера вида кривая отклонилась от прямой в Q, поэтому дифференцируемая кривая при увеличении выглядит всё прямее. Если $f''(a) \ne 0$, то $E \approx \tfrac12 f''(a)\,\Delta x^2$ для малых $\Delta x$, поэтому при достаточно малом $\Delta x$ каждое десятикратное увеличение уменьшает погрешность примерно в сто раз. При $f''(a) = 0$, как у $\sin x$ в 0, она уменьшается ещё быстрее.