선형 근사

점 $a$에서 함수 $f$의 선형 근사는 접선 $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$이며, 접선 근사 또는 국소 선형화라고도 합니다. $f$가 $a$에서 미분 가능할 때 존재합니다. $a$ 대신 $x_0$을 써서 $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x$로 나타내기도 합니다. 이 페이지는 매끄러운 함수 네 개와 0에서 미분 불가능한 함수 세 개, 총 일곱 함수로 이를 보여 줍니다.

그래프의 가로 중심은 파란 점 P $= (a, f(a))$이며, 두 축의 축척은 같습니다. 빨간 간격 Δx가 확대 배율도 정합니다. 간격이 줄면 보이는 범위도 줄어들며, P와 접선의 높이 변화, Q가 보이도록 필요한 만큼 범위를 늘립니다. 이 간격에서 접선은 파란 미분 $dy = f'(a)\,\Delta x$만큼 올라가고, 곡선은 $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$만큼 올라갑니다. 노란 화살표는 오차입니다.

함수가 $a$에서 미분 가능할 필요충분조건은 $f(a + h) - f(a) - m h = o(|h|)$를 만족하는 유한한 수 $m$이 존재하는 것입니다. 즉, 양쪽에서 $h \to 0$일 때 오차를 $h$로 나눈 값이 0으로 갑니다. 이때 $m = f'(a)$입니다. 페이지에서는 오른쪽 간격($h = \Delta x > 0$)만 그리므로 그림은 이를 설명할 뿐 증명하지는 않습니다. 접선의 존재 여부는 각 함수의 식으로 판정합니다. 보이는 범위도 $\Delta x$와 함께 줄어들기 때문에, $|E|/\Delta x$은 Q에서 곡선이 직선을 벗어난 거리를 대략 화면 크기를 단위로 나타낸 값입니다. 그래서 미분 가능한 곡선은 확대할수록 곧아 보입니다. $f''(a) \ne 0$이면 작은 $\Delta x$에 대해 $E \approx \tfrac12 f''(a)\,\Delta x^2$입니다. 따라서 $\Delta x$가 충분히 작아지면 열 배 확대할 때마다 오차는 약 백분의 일로 줄어듭니다. 0에서의 $\sin x$처럼 $f''(a) = 0$인 곳에서는 더 빠르게 줄어듭니다.