線性近似

函數 $f$ 在點 $a$ 的線性近似，也稱切線近似或局部線性化，就是切線 $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$。當 $f$ 在 $a$ 處可微分時，它才存在。也可寫成 $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x$，其中以 $x_0$ 表示 $a$。本頁展示七個函數：四個光滑函數，以及三個在 0 處不可微分的函數。

圖形在水平方向以藍點 P $= (a, f(a))$ 為中心，兩軸採用相同刻度。紅色步長 Δx 也決定縮放：視圖隨它縮小，必要時延展，以保持 P、切線的上升量及 Q 可見。在這個步長內，切線上升藍色的微分 $dy = f'(a)\,\Delta x$，曲線則上升 $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$。黃色箭頭是誤差：

函數在 $a$ 處可微分，恰好等價於存在有限數 $m$ 使 $f(a + h) - f(a) - m h = o(|h|)$ 成立，也就是當 $h \to 0$ 從兩側趨近時，誤差除以 $h$ 趨近 0；此時 $m = f'(a)$。本頁只畫向右的步長（$h = \Delta x > 0$），因此圖形是在說明，而非證明；是否有切線，要由各函數公式判定。由於視圖與 $\Delta x$ 一起縮小，$|E|/\Delta x$ 大致表示在 Q 處曲線偏離直線多少個視圖尺度，這就是可微分曲線放得愈大、看起來愈直的原因。若 $f''(a) \ne 0$，則在 $\Delta x$ 很小時有 $E \approx \tfrac12 f''(a)\,\Delta x^2$，因此只要 $\Delta x$ 夠小，每放大十倍，誤差大約就縮為百分之一。若 $f''(a) = 0$，如 $\sin x$ 在 0 處，誤差縮小得更快。