這個視覺化中的切平面
若 在 可微分，曲面 在這裡就有切平面：它是線性近似（或線性化） 的圖形。這個平面由兩個偏導數構成；越靠近該點，曲面就越緊密地貼近它，且這樣的平面只有一個。點 也記為 。
玻璃曲面是 f 的圖形，藍色薄片是 P 點的平面，其中的藍線是曲面通過 P 的兩個截面（沿 x 與沿 y）的切線：它們張成這個平面。全貌圖中的紅色正方形是 。縮小 w 會以相同比例放大 P 周圍的 x、y、z 三個方向。黃色線段標出正方形內曲面與平面的最大垂直間隙（取定義域內的部分，以密集網格估計）；讀值則將它除以 w。可微分的意思正是這個比值趨近 0，也就是最大間隙為 o(w)：
值得觀察的地方
- 當 f 在 P 點的二階項不為零（山丘，以及波浪上的大多數點），w 足夠小時，間隙會依 的尺度縮小，因此每放大十倍，比值就大約縮小為十分之一；在碗形曲面與鞍形曲面上，每一點都精確符合這個關係。二階項為零的地方會縮小得更快：在波浪的原點，每放大十倍，比值就縮小為百分之一。
- 只有偏導數還不夠。在摺疊曲面上（本頁對經典反例 、 的稱呼），原點的兩個偏導數都是 0，給出平面 ；但無論放大多少，最大間隙都維持為 ，出現在正方形的四個角：這裡沒有切平面。圓錐尖點甚至連偏導數都不存在。除此之外，這兩個曲面在其他地方都可微分。
- 切平面可能穿過曲面：在鞍點，它是水平的，而曲面在一個方向高於它，在另一個方向低於它。
- 三維視圖採用透視投影，因此螢幕上看見的傾斜程度取決於視角。讀值顯示的是數字經四捨五入（≈）的平面方程式；最大間隙是取樣估計值，並非誤差界限。
應用在哪裡
- 線性近似：在 附近，；變化量 是全微分。向量 垂直於這個平面。
- 在數值方法中，局部導數資訊用來建立每一次迭代：求解方程組的牛頓法會解線性化後的方程組，而梯度下降法則沿梯度的反方向前進；梯度描述了切平面的傾斜情形。
操作方式
- 將滑桿往 0.001 移動即可放大；w → 0 每次放大十倍。在整個曲面的視圖（w = 1）中，可拖曳曲面上的 P，或它在全貌圖上的投影點；任何放大倍率下都可用微調輪和關鍵點移動它。截面顯示兩個截面及其切線；全貌圖顯示目前所在位置。
- 簡報模式會開啟適合投影的全螢幕視圖（空白鍵放大，← → 將 w 改為十倍或十分之一，H 隱藏答案）。