Plano tangente: visualización 3D interactiva

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El plano tangente en esta visualización

Si $f(x, y)$ es diferenciable en $(a, b)$ , la superficie $z = f(x, y)$ tiene allí un plano tangente: la gráfica de la aproximación lineal, o linealización, $L$ . Se construye a partir de las dos derivadas parciales y es el único plano al que la superficie se ajusta cada vez más al acercarse al punto. El punto $(a, b)$ también se escribe $(x_0, y_0)$ .

Plano tangente

z = L(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)\,(x - a) + f_y(a, b)\,(y - b)

La superficie de cristal es la gráfica de f, la lámina azul es el plano en P y las rectas azules son las tangentes a las dos secciones de la superficie por P (según x y según y): generan el plano. El cuadrado rojo del mapa es $|x - a| \le w,\ |y - b| \le w$ . Reducir w amplía la vista alrededor de P por el mismo factor en x, y y z. El segmento amarillo marca la mayor separación vertical entre superficie y plano en el cuadrado (la parte dentro del dominio, estimada en una retícula fina); la lectura la divide entre w. Ser diferenciable significa exactamente que ese cociente tiende a 0, es decir, que la mayor separación es o(w):

Diferenciable en (a, b)

\max_{|x-a|,\,|y-b| \le w} \frac{|f(x, y) - L(x, y)|}{w} \to 0 \quad (w \to 0)

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En qué fijarse

Donde la parte de segundo orden de f en P no se anula (la colina, las ondas en la mayoría de puntos), la separación decrece como $w^2$ una vez que w es pequeño; por eso cada ampliación por diez hace el cociente unas diez veces menor; en el cuenco y la silla ocurre exactamente así en cada punto. Donde la parte de segundo orden se anula, decrece más deprisa: en el origen de las ondas, cien veces por cada ampliación por diez.
Las derivadas parciales no bastan. En el pliegue (nombre que esta página da al contraejemplo clásico $f = 0.9\,xy/\sqrt{x^2 + y^2}$ , $f(0, 0) = 0$ ), ambas son 0 en el origen y dan el plano $z = 0$ , pero la mayor separación permanece en $(0.9/\sqrt2)\,w \approx 0.636\,w$ , en las cuatro esquinas del cuadrado, con cualquier ampliación: no hay plano tangente allí. En la punta del cono, las derivadas parciales ni siquiera existen. En todos los demás puntos, ambas superficies son diferenciables.
Un plano tangente puede cruzar la superficie: en un punto de silla es horizontal, con la superficie por encima en una dirección y por debajo en otra.
La vista 3D se dibuja en perspectiva, así que la inclinación en pantalla depende del punto de vista. La lectura muestra la ecuación del plano con los números redondeados (≈), y la mayor separación es una estimación por muestreo, no una cota.

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Dónde se utiliza

Aproximación lineal: cerca de $(a, b)$ , $f(x, y) \approx L(x, y)$ ; el cambio $dz = f_x\,dx + f_y\,dy$ es el diferencial total. El vector $(f_x, f_y, -1)$ es normal al plano.
En los métodos numéricos, la información local de las derivadas construye cada paso de una iteración: el método de Newton para sistemas resuelve las ecuaciones linealizadas, y el descenso por gradiente sigue el gradiente, que representa la inclinación del plano tangente.

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Controles

Mueve el deslizador hacia 0.001 para ampliar; w → 0 amplía un factor diez cada vez. En la vista de toda la superficie (w = 1), arrastra P en la superficie o su proyección en el mapa; las ruedas y los puntos clave lo mueven con cualquier ampliación. Secciones muestra las dos secciones y sus tangentes; Mapa muestra dónde estás.
El Modo presentación abre una vista a pantalla completa para proyectores (Espacio acerca la vista, ← → multiplican o dividen w por diez, H oculta las respuestas).

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Conceptos relacionados

E12Derivada parcial
E15Gradiente
D07Aproximación lineal
E10Mapa de curvas de nivelPrevisto
E16Criterio de las segundas derivadas parcialesPrevisto

Para saber más: OpenStax, Calculus Volume 3, 4.4 Tangent Planes and Linear Approximations (Inglés).