Math

Çok değişkenli analiz · Teğet düzlemi

Teğet düzlemi

Teğet düzlemi bir nokta yakınında türevlenebilir yüzeye yaklaşır. Yakınlaştırın: yükseklik hatası görünüm ölçeğine göre küçülür.

01

Bu görselleştirmede teğet düzlemi

f(x,y)f(x, y), (a,b)(a, b) noktasında türevlenebilirse z=f(x,y)z = f(x, y) yüzeyinin orada bir teğet düzlemi vardır: LL doğrusal yaklaşımının, yani doğrusallaştırmanın grafiği. İki kısmi türevden kurulur; noktaya yaklaştıkça yüzeyin giderek daha çok yaklaştığı tek düzlemdir. (a,b)(a, b) noktası (x0,y0)(x_0, y_0) olarak da yazılır.

Teğet düzlemi
z=L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b) (x−a)+fy(a,b) (y−b)z = L(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)\,(x - a) + f_y(a, b)\,(y - b)

Cam yüzey f'nin grafiği, mavi tabaka P noktasındaki düzlemdir. İçindeki mavi doğrular yüzeyin P'den geçen iki kesitinin (x ve y boyunca) teğetleridir; düzlemi gererler. Haritadaki kırmızı kare ∣x−a∣≤w, ∣y−b∣≤w|x - a| \le w,\ |y - b| \le w'tür. w'yi küçültmek P çevresini x, y ve z'de aynı katsayıyla büyütür. Sarı parça, kare boyunca yüzey ile düzlem arasındaki en büyük düşey farkı gösterir (tanım kümesi içindeki kısım, ince ızgarada tahmin edilir); okuma bunu w'ye böler. Türevlenebilirlik tam olarak bu oranın 0'a gitmesidir; yani en büyük fark o(w)'dir:

(a, b)'de türevlenebilir
max⁡∣x−a∣, ∣y−b∣≤w∣f(x,y)−L(x,y)∣w→0(w→0)\max_{|x-a|,\,|y-b| \le w} \frac{|f(x, y) - L(x, y)|}{w} \to 0 \quad (w \to 0)
02

Dikkat edilecekler

  • P'deki f'nin ikinci dereceden kısmı sıfır değilse (tepe, çoğu noktada dalgalar), küçük w için fark w2w^2 gibi küçülür. Her on kat yakınlaştırma oranı yaklaşık on kat küçültür; çanak ve eyerde her noktada tam böyledir. İkinci dereceden kısım sıfırsa daha hızlı küçülür: dalgaların orijininde her on kat yakınlaştırmada yüz kat.
  • Kısmi türevler yetmez. Kat yüzeyinde (klasik f=0.9 xy/x2+y2f = 0.9\,xy/\sqrt{x^2 + y^2}, f(0,0)=0f(0, 0) = 0 karşı örneğine sayfanın verdiği ad), orijinde ikisi de 0'dır ve z=0z = 0 düzlemini verir. Ancak en büyük fark her yakınlaştırmada karenin dört köşesinde (0.9/2) w≈0.636 w(0.9/\sqrt2)\,w \approx 0.636\,w kalır: orada teğet düzlemi yoktur. Koni ucunda kısmi türevler bile yoktur. Diğer her yerde iki yüzey de türevlenebilirdir.
  • Teğet düzlemi yüzeyi kesebilir: eyer noktasında yataydır; yüzey bir yönde üstünde, başka yönde altındadır.
  • 3B görünüm perspektifle çizilir; ekrandaki eğiklik bakış açısına bağlıdır. Okuma düzlem denklemini yuvarlanmış sayılarla (≈) gösterir. En büyük fark bir sınır değil, örneklenmiş tahmindir.
03

Nerede kullanılır?

  • Doğrusal yaklaşım: (a,b)(a, b) yakınında f(x,y)≈L(x,y)f(x, y) \approx L(x, y). dz=fx dx+fy dydz = f_x\,dx + f_y\,dy değişimi tam diferansiyeldir. (fx,fy,−1)(f_x, f_y, -1) vektörü düzleme diktir.
  • Sayısal yöntemlerde yerel türev bilgisi yinelemenin her adımını kurar: denklem sistemi için Newton yöntemi doğrusallaştırılmış denklemleri çözer; gradyan inişi, teğet düzleminin eğimini veren gradyanı izler.
04

Kontroller

  • Yakınlaşmak için sürgüyü 0.001'e doğru kaydırın; w → 0 her seferinde on kat yakınlaştırır. Tüm yüzey görünümünde (w = 1), yüzeydeki P'yi veya haritadaki izdüşümünü sürükleyin; çarklar ve önemli noktalar her yakınlaştırmada taşır. Kesitler iki kesiti ve teğetlerini; Harita bulunduğunuz yeri gösterir.
  • Sunum modu, projektörler için tam ekran görünümü açar (Boşluk yakınlaştırır, ← → w'yi on kat değiştirir, H yanıtları gizler).
05

İlgili konular

Ek okumalar: OpenStax, Calculus Volume 3, 4.4 Tangent Planes and Linear Approximations (İngilizce).