접평면: 인터랙티브 3차원 시각화

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이 시각화의 접평면

함수 $f(x, y)$ 가 $(a, b)$ 에서 미분 가능하면 곡면 $z = f(x, y)$ 에는 그 점에서의 접평면이 있습니다. 선형 근사, 또는 선형화 $L$ 의 그래프입니다. 두 편미분계수로 구성되며, 그 점에 가까워질수록 곡면이 점점 더 밀착하는 유일한 평면입니다. 점 $(a, b)$ 은 $(x_0, y_0)$ 로 쓰기도 합니다.

접평면

z = L(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)\,(x - a) + f_y(a, b)\,(y - b)

유리 곡면은 f의 그래프이고, 파란 판은 P에서의 평면입니다. 판 위의 파란 선은 P를 지나는 곡면의 두 단면(x 방향과 y 방향)의 접선으로, 이 평면을 생성합니다. 전체 지도의 빨간 정사각형은 $|x - a| \le w,\ |y - b| \le w$ 입니다. w를 줄이면 P 주위가 x, y, z 세 방향에서 같은 비율로 확대됩니다. 노란 선분은 정사각형 안에서 곡면과 평면 사이의 최대 수직 간격을 표시합니다(정의역에 속하는 부분을 촘촘한 격자로 추정). 표시값은 이를 w로 나눈 값입니다. 미분 가능하다는 것은 정확히 이 비가 0으로 간다는 뜻, 즉 최대 간격이 o(w)라는 뜻입니다.

(a, b)에서 미분 가능

\max_{|x-a|,\,|y-b| \le w} \frac{|f(x, y) - L(x, y)|}{w} \to 0 \quad (w \to 0)

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살펴볼 점

P에서 f의 2차항이 사라지지 않으면(언덕과 물결의 대부분의 점), w가 작을 때 간격은 $w^2$ 에 비례해 줄어듭니다. 따라서 10배 확대할 때마다 비가 약 10분의 1이 됩니다. 그릇과 안장에서는 모든 점에서 이 관계가 정확히 성립합니다. 2차항이 사라지면 더 빠르게 줄어듭니다. 물결의 원점에서는 10배 확대할 때마다 비가 100분의 1이 됩니다.
편미분계수만으로는 충분하지 않습니다. 접힌 곡면(이 페이지에서 고전적인 반례 $f = 0.9\,xy/\sqrt{x^2 + y^2}$ , $f(0, 0) = 0$ 을 부르는 이름)은 원점의 두 편미분계수가 모두 0이어서 평면 $z = 0$ 를 줍니다. 하지만 모든 확대 배율에서 정사각형 네 꼭짓점의 최대 간격이 $(0.9/\sqrt2)\,w \approx 0.636\,w$ 로 유지되므로, 그곳에는 접평면이 없습니다. 원뿔의 꼭짓점에서는 편미분계수조차 존재하지 않습니다. 그 외의 모든 점에서는 두 곡면 모두 미분 가능합니다.
접평면은 곡면을 가로지를 수 있습니다. 안장점에서는 접평면이 수평이고, 곡면이 한 방향에서는 그 위에, 다른 방향에서는 그 아래에 놓입니다.
3차원 보기는 원근 투영을 사용하므로 화면에서 보이는 기울기는 시점에 따라 달라집니다. 평면의 방정식은 계수를 반올림해 ≈로 표시하며, 최대 간격은 표본으로 추정한 값이지 보장된 상한이 아닙니다.

03

어디에 쓰일까요?

선형 근사: $(a, b)$ 근처에서 $f(x, y) \approx L(x, y)$ 입니다. 변화량 $dz = f_x\,dx + f_y\,dy$ 는 전미분입니다. 벡터 $(f_x, f_y, -1)$ 은 평면의 법선입니다.
수치해석에서는 국소적인 도함수 정보로 반복 계산의 각 단계를 만듭니다. 연립방정식의 뉴턴 방법은 선형화한 방정식을 풀고, 경사하강법은 접평면의 기울기를 나타내는 기울기 벡터의 반대 방향으로 움직입니다.

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조작 방법

슬라이더를 0.001 쪽으로 옮겨 확대하세요. w → 0은 한 번에 10배씩 확대합니다. 곡면 전체 보기(w = 1)에서는 곡면 위의 P나 전체 지도 위의 수직 투영점을 드래그할 수 있습니다. 휠과 주요 점으로는 어떤 배율에서도 P를 옮길 수 있습니다. 단면은 두 단면과 접선을, 전체 지도는 현재 위치를 보여 줍니다.
발표 모드는 프로젝터용 전체 화면을 엽니다(스페이스: 확대, ← →: w를 10배 또는 10분의 1로 변경, H: 답 숨기기).

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이 시각화의 접평면

살펴볼 점

어디에 쓰일까요?

조작 방법

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