Plano tangente: visualização 3D interativa

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O plano tangente nesta visualização

Se $f(x, y)$ for diferenciável em $(a, b)$ , a superfície $z = f(x, y)$ tem aí um plano tangente: o gráfico da aproximação linear, ou linearização, $L$ . É construído a partir das duas derivadas parciais e é o único plano do qual a superfície se aproxima cada vez mais, em termos relativos, ao aproximarmo-nos do ponto. O ponto $(a, b)$ também se escreve $(x_0, y_0)$ .

Plano tangente

z = L(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)\,(x - a) + f_y(a, b)\,(y - b)

A superfície de vidro é o gráfico de f, a folha azul é o plano em P e as linhas azuis que contém são as tangentes às duas secções da superfície por P (nas direções de x e de y): elas geram o plano. O quadrado vermelho no mapa é $|x - a| \le w,\ |y - b| \le w$ . Diminuir w amplia a vista em torno de P, pelo mesmo fator em x, y e z. O segmento amarelo marca a maior diferença vertical entre superfície e plano no quadrado (na parte dentro do domínio, estimada numa malha fina); o indicador divide-a por w. Ser diferenciável significa precisamente que esta razão tende para 0, isto é, que a maior diferença é o(w):

Diferenciável em (a, b)

\max_{|x-a|,\,|y-b| \le w} \frac{|f(x, y) - L(x, y)|}{w} \to 0 \quad (w \to 0)

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O que observar

Onde a parte de segunda ordem de f em P não se anula (a colina e as ondas na maioria dos pontos), a diferença diminui como $w^2$ quando w é pequeno, pelo que cada ampliação de dez vezes torna a razão cerca de dez vezes menor; na taça e na sela, isso acontece exatamente em todos os pontos. Onde a parte de segunda ordem se anula, a diferença diminui mais depressa: na origem das ondas, cem vezes por cada ampliação de dez vezes.
As derivadas parciais não bastam. Na dobra (o nome que esta página dá ao contraexemplo clássico $f = 0.9\,xy/\sqrt{x^2 + y^2}$ , $f(0, 0) = 0$ ), ambas são 0 na origem e dão o plano $z = 0$ , mas a maior diferença mantém-se em $(0.9/\sqrt2)\,w \approx 0.636\,w$ , nos quatro vértices do quadrado, a qualquer ampliação: não há aí plano tangente. No vértice do cone, as derivadas parciais nem sequer existem. Em todos os outros pontos, ambas as superfícies são diferenciáveis.
Um plano tangente pode atravessar a superfície: num ponto de sela, é horizontal, com a superfície acima dele numa direção e abaixo noutra.
A vista 3D é desenhada em perspetiva, pelo que as inclinações no ecrã dependem do ponto de vista. O indicador mostra a equação do plano com os números arredondados (≈), e a maior diferença é uma estimativa por amostragem, não um limite garantido.

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Aplicações

Aproximação linear: perto de $(a, b)$ , $f(x, y) \approx L(x, y)$ ; a variação $dz = f_x\,dx + f_y\,dy$ é o diferencial total. O vetor $(f_x, f_y, -1)$ é normal ao plano.
Nos métodos numéricos, a informação local das derivadas constrói cada passo de uma iteração: o método de Newton para um sistema de equações resolve as equações linearizadas, e a descida do gradiente usa o gradiente, que descreve a inclinação do plano tangente.

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Controlos

Deslize o controlo em direção a 0.001 para ampliar; w → 0 amplia por um fator de dez de cada vez. Na vista da superfície completa (w = 1), arraste P na superfície ou a sua projeção no mapa; os seletores e os pontos notáveis movem-no a qualquer ampliação. Secções mostra as duas secções e as suas tangentes; Mapa mostra onde está.
O modo de apresentação abre uma vista em ecrã inteiro para projetores (Espaço amplia, ← → alteram w por um fator de dez e H oculta as respostas).

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Relacionados

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Para saber mais: OpenStax, Calculus Volume 3, 4.4 Tangent Planes and Linear Approximations (Inglês).