Piano tangente: visualizzazione 3D interattiva

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Il piano tangente in questa visualizzazione

Se $f(x, y)$ è differenziabile in $(a, b)$ , la superficie $z = f(x, y)$ ha lì un piano tangente: il grafico dell’approssimazione lineare, o linearizzazione, $L$ . È costruito dalle due derivate parziali ed è l’unico piano a cui la superficie si avvicina sempre più strettamente avvicinandosi al punto. Il punto $(a, b)$ si scrive anche $(x_0, y_0)$ .

Piano tangente

z = L(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)\,(x - a) + f_y(a, b)\,(y - b)

La superficie trasparente è il grafico di f, il foglio blu è il piano in P e le rette blu al suo interno sono le tangenti alle due sezioni della superficie per P (lungo x e lungo y): generano il piano. Il quadrato rosso sulla mappa è $|x - a| \le w,\ |y - b| \le w$ . Ridurre w ingrandisce la vista attorno a P dello stesso fattore in x, y e z. Il segmento giallo indica lo scarto verticale massimo tra superficie e piano sul quadrato (la parte nel dominio, stimata su una griglia fitta); il valore mostrato lo divide per w. Essere differenziabile significa esattamente che questo rapporto tende a 0, cioè che lo scarto massimo è o(w):

Differenziabile in (a, b)

\max_{|x-a|,\,|y-b| \le w} \frac{|f(x, y) - L(x, y)|}{w} \to 0 \quad (w \to 0)

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Cosa osservare

Dove la parte del secondo ordine di f in P non si annulla (la collina, le onde nella maggior parte dei punti), lo scarto si riduce come $w^2$ quando w è piccolo, quindi ogni ingrandimento di dieci volte rende il rapporto circa dieci volte più piccolo; sulla conca e sulla sella è esattamente così in ogni punto. Dove la parte del secondo ordine si annulla, si riduce più rapidamente: nell’origine delle onde, di cento volte per ogni ingrandimento di dieci.
Le derivate parziali non bastano. Sulla piega (il nome dato qui a un classico controesempio $f = 0.9\,xy/\sqrt{x^2 + y^2}$ , $f(0, 0) = 0$ ) entrambe sono 0 nell’origine e danno il piano $z = 0$ , ma lo scarto massimo resta $(0.9/\sqrt2)\,w \approx 0.636\,w$ , nei quattro vertici del quadrato, a ogni ingrandimento: nessun piano tangente lì. Nella punta del cono le derivate parziali non esistono nemmeno. Altrove entrambe le superfici sono differenziabili.
Un piano tangente può attraversare la superficie: in un punto di sella è orizzontale, con la superficie sopra di esso in una direzione e sotto in un’altra.
La vista 3D è prospettica, quindi le inclinazioni sullo schermo dipendono dal punto di osservazione. I valori mostrano l’equazione del piano con numeri arrotondati (≈) e lo scarto massimo è una stima campionata, non una maggiorazione garantita.

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Dove si usa

Approssimazione lineare: vicino a $(a, b)$ , $f(x, y) \approx L(x, y)$ ; la variazione $dz = f_x\,dx + f_y\,dy$ è il differenziale totale. Il vettore $(f_x, f_y, -1)$ è normale al piano.
Nei metodi numerici, le informazioni locali sulle derivate costruiscono ogni passo di un’iterazione: il metodo di Newton per un sistema di equazioni risolve le equazioni linearizzate e la discesa del gradiente segue il gradiente, che descrive l’inclinazione del piano tangente.

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Comandi

Sposta il cursore verso 0.001 per ingrandire; w → 0 ingrandisce di un fattore dieci alla volta. Nella vista dell’intera superficie (w = 1), trascina P sulla superficie o la sua proiezione sulla mappa; le rotelle e i punti notevoli lo spostano a ogni ingrandimento. Sezioni mostra le due sezioni e le loro tangenti; Mappa mostra dove ti trovi.
Modalità presentazione apre una vista a schermo intero per proiettori (Spazio ingrandisce, ← → modificano w di un fattore dieci, H nasconde le risposte).

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Concetti collegati

E12Derivata parziale
E15Gradiente
D07Approssimazione lineare
E10Mappa delle curve di livelloIn programma
E16Criterio delle derivate seconde parzialiIn programma

Per approfondire: OpenStax, Calculus Volume 3, 4.4 Tangent Planes and Linear Approximations (Inglese).