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Analisi a più variabili · Gradiente

Gradiente

Il gradiente di una funzione differenziabile è il vettore delle sue derivate parziali, ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y). Dove non è nullo, indica la direzione in cui la funzione cresce più rapidamente e la sua lunghezza è questa pendenza massima.

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Il gradiente in questa visualizzazione

Il gradiente di una funzione f(x,y)f(x, y), indicato con ∇f\nabla f o grad⁡f\operatorname{grad} f, è il vettore delle sue derivate parziali, ∇f=(fx,fy)\nabla f = (f_x, f_y). Dove ff è differenziabile e ∇f≠0\nabla f \ne 0, indica la direzione in cui ff cresce più rapidamente e la sua lunghezza è questo tasso massimo. Questa pagina lo mostra su sei superfici, insieme alla derivata direzionale, il tasso di variazione di ff in una direzione scelta.

La superficie trasparente è il grafico di z=f(x,y)z = f(x, y); la sua mappa delle curve di livello si trova sul piano inferiore. Il punto blu P è sulla superficie, sopra (a,b)(a, b). La freccia rossa u è un vettore orizzontale unitario all’angolo θ\theta, misurato in senso antiorario dal semiasse xx positivo. Per un passo orizzontale di una unità lungo u, il piano tangente sale del segmento giallo: la derivata direzionale

Derivata direzionale
Duf(a,b)=∇f⋅u=fxcos⁡θ+fysin⁡θ.D_u f(a, b) = \nabla f \cdot u = f_x \cos\theta + f_y \sin\theta.

La derivata direzionale si indica anche con ∂f∂l\dfrac{\partial f}{\partial l}, dove la direzione è il versore el=(cos⁡α,cos⁡β)e_l = (\cos\alpha, \cos\beta); qui θ\theta si misura in senso antiorario dal semiasse xx positivo, quindi cos⁡α=cos⁡θ\cos\alpha = \cos\theta e cos⁡β=sin⁡θ\cos\beta = \sin\theta. L’anello blu è la circonferenza unitaria attorno a P sollevata sul piano tangente. Il suo punto più alto si trova nella direzione del gradiente, a un’altezza ∣∇f∣|\nabla f| sopra P, perché

Pendenza massima
Duf=∣∇f∣cos⁡φ≤∣∇f∣,D_u f = |\nabla f| \cos\varphi \le |\nabla f|,

dove φ\varphi è l’angolo tra u e ∇f\nabla f. La pendenza è massima lungo il gradiente, nulla lungo la curva di livello passante per P e minima nella direzione opposta al gradiente.

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Cosa osservare

  • Il gradiente è perpendicolare alla curva di livello passante per P. Curve tracciate a incrementi uguali di ff si infittiscono dove ∣∇f∣|\nabla f| è grande.
  • Quando u compie un giro, il punto (a,b)+(Duf) u(a, b) + (D_u f)\,u sulla mappa descrive una circonferenza il cui diametro va da (a,b)(a, b) a (a,b)+∇f(a, b) + \nabla f. Dove ∇f=0\nabla f = 0, la circonferenza si riduce al punto stesso.
  • La direzione di massima salita non deve necessariamente puntare alla cima: su una collina allungata le due direzioni sono diverse.
  • Le derivate parziali sono derivate direzionali: u=(1,0)u = (1, 0) dà fxf_x e u=(0,1)u = (0, 1) dà fyf_y.
  • Dove ∇f=0\nabla f = 0 (un punto critico), ogni direzione ha pendenza 0 e non esiste una direzione di massima pendenza. Una sella è un punto di questo tipo che non è né un massimo né un minimo locale.
  • Il dislivello giallo appartiene al piano tangente: è un’approssimazione lineare. Per un breve passo orizzontale hh lungo u, la superficie stessa sale di f((a,b)+hu)−f(a,b)≈h Duff((a, b) + h u) - f(a, b) \approx h\,D_u f e, quanto più piccolo è hh, tanto migliore è la corrispondenza.
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Dove si usa

  • La discesa del gradiente, metodo di base per addestrare modelli di apprendimento automatico, riduce una funzione con piccoli passi ripetuti in direzione opposta al gradiente, x←x−η ∇f(x)x \leftarrow x - \eta\,\nabla f(x). Dove ∇f≠0\nabla f \ne 0, un passo sufficientemente piccolo fa scendere, ma il metodo può fermarsi in un minimo locale o rallentare vicino a una sella invece di raggiungere il punto più basso.
  • Poiché il gradiente è perpendicolare alle curve di livello, ne indica la direzione normale. Dove una funzione regolare ff ha un massimo o minimo su una curva g=cg = c (con ∇g≠0\nabla g \ne 0), i due gradienti sono paralleli, ∇f=λ∇g\nabla f = \lambda \nabla g: è l’idea dei moltiplicatori di Lagrange.
  • In fisica, una forza conservativa è l’opposto del gradiente dell’energia potenziale, F=−∇UF = -\nabla U: spinge verso un’energia minore, nella direzione in cui l’energia cala più rapidamente.
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Comandi

  • Trascina P sulla superficie o la sua proiezione sulla mappa, oppure trascina la punta della freccia rossa. I punti e le direzioni notevoli (+x+x, +y+y, ∇f\nabla f, ⊥∇f\perp\nabla f) portano a valori esatti; in un punto critico notevole ∇f\nabla f è esattamente 0.
  • Giro completo fa compiere a u un giro e si ferma sulla direzione di massima pendenza. Vista dall’alto guarda in verticale, mostrando gli angoli reali sulla mappa. Modalità presentazione apre una vista a schermo intero per proiettori (Spazio avvia il giro, ← → ruotano u, H nasconde le risposte).
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Concetti collegati

  • E10Mappa delle curve di livelloIn programma
  • E12Derivata parziale
  • E13Piano tangente
  • E16Criterio delle derivate seconde parzialiIn programma
  • E17Moltiplicatore di LagrangeIn programma

Per approfondire: Wikipedia: Gradient (Inglese); OpenStax, Calculus Volume 3, 4.6 Directional Derivatives and the Gradient (Inglese).