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Cálculo de varias variables · Gradiente

Gradiente

El gradiente de una función diferenciable es el vector de sus derivadas parciales, ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y). Donde no es cero, apunta en la dirección en que la función crece más deprisa, y su longitud es esa pendiente máxima.

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El gradiente en esta visualización

El gradiente de una función f(x,y)f(x, y), escrito ∇f\nabla f o grad⁡f\operatorname{grad} f, es el vector de sus derivadas parciales, ∇f=(fx,fy)\nabla f = (f_x, f_y). Donde ff es diferenciable y ∇f≠0\nabla f \ne 0, apunta en la dirección en que ff crece más deprisa, y su longitud es esa tasa máxima. Esta página lo muestra en seis superficies junto con la derivada direccional, la tasa de variación de ff en una dirección elegida.

La superficie de cristal es la gráfica de z=f(x,y)z = f(x, y); su mapa de curvas de nivel está en el suelo. El punto azul P está en la superficie sobre (a,b)(a, b). La flecha roja u es un vector horizontal unitario con ángulo θ\theta, medido en sentido antihorario desde el semieje positivo xx. En un paso horizontal de una unidad según u, el plano tangente asciende lo que indica el segmento amarillo: la derivada direccional

Derivada direccional
Duf(a,b)=∇f⋅u=fxcos⁡θ+fysin⁡θ.D_u f(a, b) = \nabla f \cdot u = f_x \cos\theta + f_y \sin\theta.

La derivada direccional también se escribe ∂f∂l\dfrac{\partial f}{\partial l}, con el vector unitario el=(cos⁡α,cos⁡β)e_l = (\cos\alpha, \cos\beta) como dirección; aquí θ\theta se mide en sentido antihorario desde el semieje positivo xx, por lo que cos⁡α=cos⁡θ\cos\alpha = \cos\theta y cos⁡β=sin⁡θ\cos\beta = \sin\theta. El aro azul es la circunferencia unidad alrededor de P elevada al plano tangente. Su punto más alto está en la dirección del gradiente, a ∣∇f∣|\nabla f| por encima de P, porque

Pendiente máxima
Duf=∣∇f∣cos⁡φ≤∣∇f∣,D_u f = |\nabla f| \cos\varphi \le |\nabla f|,

donde φ\varphi es el ángulo entre u y ∇f\nabla f. La pendiente es máxima según el gradiente, nula según la curva de nivel que pasa por P, y mínima en sentido opuesto al gradiente.

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En qué fijarse

  • El gradiente es perpendicular a la curva de nivel que pasa por P. Las curvas trazadas a intervalos iguales de ff se acumulan donde ∣∇f∣|\nabla f| es grande.
  • Cuando u da una vuelta, el punto del mapa (a,b)+(Duf) u(a, b) + (D_u f)\,u traza una circunferencia cuyo diámetro va de (a,b)(a, b) a (a,b)+∇f(a, b) + \nabla f. Donde ∇f=0\nabla f = 0, la circunferencia se reduce al propio punto.
  • La dirección de máxima subida no tiene por qué apuntar a la cima: en una colina alargada, ambas direcciones difieren.
  • Las derivadas parciales son derivadas direccionales: u=(1,0)u = (1, 0) da fxf_x, y u=(0,1)u = (0, 1) da fyf_y.
  • Donde ∇f=0\nabla f = 0 (un punto crítico), todas las direcciones tienen pendiente 0 y no hay una dirección de máxima pendiente. Un punto de silla cumple esto sin ser un máximo ni un mínimo local.
  • El incremento amarillo corresponde al plano tangente: es una aproximación lineal. En un paso horizontal corto hh según u, la propia superficie asciende f((a,b)+hu)−f(a,b)≈h Duff((a, b) + h u) - f(a, b) \approx h\,D_u f, y cuanto menor es hh, mejor es la aproximación.
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Dónde se utiliza

  • El descenso por gradiente, método básico para entrenar modelos de aprendizaje automático, reduce una función mediante pequeños pasos repetidos en sentido opuesto al gradiente, x←x−η ∇f(x)x \leftarrow x - \eta\,\nabla f(x). Donde ∇f≠0\nabla f \ne 0, un paso lo bastante pequeño desciende, pero el método puede acabar en un mínimo local o avanzar muy despacio cerca de un punto de silla, en lugar de llegar al punto más bajo.
  • Como el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel, da su dirección normal. Donde una función suave ff alcanza un máximo o mínimo en una curva g=cg = c (con ∇g≠0\nabla g \ne 0), los dos gradientes son paralelos, ∇f=λ∇g\nabla f = \lambda \nabla g: esta es la idea de los multiplicadores de Lagrange.
  • En física, una fuerza conservativa es el negativo del gradiente de la energía potencial, F=−∇UF = -\nabla U: empuja hacia una energía menor, en la dirección en que esta disminuye más deprisa.
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Controles

  • Arrastra P sobre la superficie o su proyección en el mapa, o arrastra la punta de la flecha roja. Los puntos y direcciones clave (+x+x, +y+y, ∇f\nabla f, ⊥∇f\perp\nabla f) llevan a valores exactos; en un punto crítico clave, ∇f\nabla f es exactamente 0.
  • Barrido gira u una vuelta completa y se detiene en la dirección de máxima pendiente. Vista superior mira desde arriba, donde los ángulos del mapa son los reales. Modo presentación abre una vista a pantalla completa para proyectores (Espacio hace el barrido, ← → giran u y H oculta las respuestas).
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Conceptos relacionados

  • E10Mapa de curvas de nivelPrevisto
  • E12Derivada parcial
  • E13Plano tangente
  • E16Criterio de las segundas derivadas parcialesPrevisto
  • E17Multiplicador de LagrangePrevisto

Para saber más: Wikipedia: Gradient (Inglés); OpenStax, Calculus Volume 3, 4.6 Directional Derivatives and the Gradient (Inglés).