Derivada parcial: visualización 3D interactiva

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La derivada parcial en esta visualización

Para una función de dos variables $f(x, y)$ , la derivada parcial respecto a x en $(a, b)$ , escrita $\partial f/\partial x$ o $f_x$ , es la derivada ordinaria de la función de una variable $x \mapsto f(x, b)$ en $x = a$ : y se mantiene fija y solo cambia x. La derivada parcial respecto a y mantiene x fija del mismo modo. Esta página muestra ambas en seis superficies.

Derivada parcial

\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h,\, b) - f(a, b)}{h} = \frac{d}{dx} f(x, b)\Big|_{x = a}

También se escribe $f_x(a, b)$ (o $f'_x(a, b)$ ), y el punto $(a, b)$ como $(x_0, y_0)$ . La superficie de cristal es la gráfica de $z = f(x, y)$ , con su mapa de curvas de nivel en el suelo. El plano vertical $y = b$ que pasa por el punto azul P corta la superficie en una curva, la sección: la gráfica de $x \mapsto f(x, b)$ . La flecha gris es un avance de 1 en la dirección x; el incremento vertical desde su punta hasta la tangente azul, un cambio con signo (positivo hacia arriba, negativo hacia abajo), es $\partial f/\partial x$ , la pendiente de la sección en P. La ventana sobre la vista dibuja la misma sección como una gráfica ordinaria. Elegir $\partial f/\partial y$ gira el plano a $x = a$ .

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En qué fijarse

Una derivada parcial puede depender de ambas coordenadas de P, incluida la que se mantiene fija. Mueve la sección y la curva cambia; su pendiente puede cambiar con ella: en $f = xy/4$ , cada sección según x es una recta y su pendiente $\partial f/\partial x = y/4$ solo depende de qué sección se tome.
$\partial f/\partial x = 0$ solo afirma que la sección según x es horizontal en P. Donde una función diferenciable tiene un máximo o mínimo local en un punto interior de su dominio, ambas derivadas parciales son 0; pero eso no basta por sí solo: en un punto de silla ambas también son 0.
El incremento se mide sobre la tangente, no sobre la superficie: en un paso $h$ , la propia sección cambia aproximadamente $h\,\partial f/\partial x$ , con mejor ajuste cuanto menor es $h$ .
La vista 3D conserva las proporciones reales, con z a la misma escala que x e y, pero la inclinación aparente de una recta depende del ángulo desde el que se mire. La ventana de la sección la dibuja de frente con escalas iguales, así que allí se pueden comparar directamente las pendientes.

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Dónde se utiliza

Las dos derivadas parciales forman juntas el gradiente $\nabla f = (f_x, f_y)$ . Donde f es diferenciable, las dos tangentes que se muestran con la palanca en Ambas están en el plano tangente $z = f(a, b) + f_x\,(x - a) + f_y\,(y - b)$ . Tener ambas derivadas parciales no basta por sí solo para que exista un plano tangente.
Cuando una magnitud depende de varias otras, una derivada parcial mide su respuesta a una de ellas manteniendo las demás fijas; por ejemplo, con qué rapidez aumenta la presión de un gas con la temperatura a volumen constante.

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Controles

Arrastra P en la superficie o su proyección en el mapa. Los puntos clave llevan a valores exactos; en un punto crítico clave, ambas derivadas parciales son exactamente 0.
La palanca de Sección elige qué variable cambia: $\partial f/\partial x$ fija y y corta según x, $\partial f/\partial y$ fija x y corta según y, y la posición central, Ambas, muestra las dos secciones juntas. Gráfica de la sección abre o cierra la ventana; con una sección, también puedes arrastrar P por ella allí. De las dos ruedas de Punto, una mueve P por la sección y la otra mueve el corte. Modo presentación abre una vista a pantalla completa para proyectores (← → mueven P por la sección, ↑ ↓ mueven el corte, X, Y y B cambian la palanca y H oculta las respuestas).

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Conceptos relacionados

D05Derivada
E10Mapa de curvas de nivelPrevisto
E13Plano tangente
E15Gradiente
E16Criterio de las segundas derivadas parcialesPrevisto

Para saber más: Wikipedia: Partial derivative (Inglés); OpenStax, Calculus Volume 3, 4.3 Partial Derivatives (Inglés).