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多變數微積分 · 偏導數

偏導數

f(x, y) 對 x 的偏導數 ∂f/∂x，是固定 y、讓 x 改變時，f 的變化率。在曲面 z = f(x, y) 上，它是平面 y = 常數 截出的曲線之斜率。

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這個視覺化中的偏導數

對二變數函數 f(x,y)f(x, y)，在 (a,b)(a, b) 處對 x 的偏導數，記為 ∂f/∂x\partial f/\partial x 或 fxf_x，就是單變數函數 x↦f(x,b)x \mapsto f(x, b) 在 x=ax = a 處的一般導數：固定 y，只改變 x。對 y 的偏導數同理，固定 x。本頁以六個曲面展示兩者。

偏導數
∂f∂x(a,b)=lim⁡h→0f(a+h, b)−f(a,b)h=ddxf(x,b)∣x=a\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h,\, b) - f(a, b)}{h} = \frac{d}{dx} f(x, b)\Big|_{x = a}

也可記為 fx(a,b)f_x(a, b)（或 fx′(a,b)f'_x(a, b)），點 (a,b)(a, b) 也可寫成 (x0,y0)(x_0, y_0)。玻璃曲面是 z=f(x,y)z = f(x, y) 的圖形，底面有其等高線圖。通過藍點 P 的鉛直平面 y=by = b 與曲面相交成一條曲線，稱為截線，也就是 x↦f(x,b)x \mapsto f(x, b) 的圖形。灰色箭頭表示沿 x 方向水平移動 1；從箭頭尖端到藍色切線的上升量，是帶正負號的鉛直變化（向上為正、向下為負），等於 ∂f/∂x\partial f/\partial x，即截線在 P 處的斜率。視圖內的小視窗以一般平面圖呈現同一條截線。選擇 ∂f/∂y\partial f/\partial y，會將平面轉到 x=ax = a。

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值得觀察的地方

  • 偏導數可以同時依賴 P 的兩個座標，包括固定不動的那個。移動截面，曲線會改變，斜率也可能隨之改變：在 f=xy/4f = xy/4 上，每條沿 x 的截線都是直線，斜率 ∂f/∂x=y/4\partial f/\partial x = y/4 只取決於你選了哪個截面。
  • ∂f/∂x=0\partial f/\partial x = 0 只表示沿 x 的截線在 P 處水平。可微分函數若在定義域內部某點有局部極大或極小值，兩個偏導數都為 0；但單靠這個條件還不夠：鞍點的兩個偏導數也都是 0。
  • 上升量是在切線上測量，不是在曲面上：步長為 hh 時，截線本身約變化 h ∂f/∂xh\,\partial f/\partial x；hh 愈小，近似愈準。
  • 三維視圖保持真實比例，z 與 x、y 使用相同刻度，但螢幕上看起來多陡，仍取決於觀看角度。截線視窗以正面、等比例刻度畫出截線，因此能直接比較斜率。
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應用在哪裡

  • 兩個偏導數合在一起，形成梯度 ∇f=(fx,fy)\nabla f = (f_x, f_y)。在 f 可微分的地方，切換桿設為兩者時顯示的兩條切線，都位於切平面 z=f(a,b)+fx (x−a)+fy (y−b)z = f(a, b) + f_x\,(x - a) + f_y\,(y - b) 中。光有兩個偏導數存在，還不足以保證切平面存在。
  • 只要一個量依賴多個其他量，偏導數就能測量其對其中一個量的反應，同時固定其餘變數，例如定容下，氣體壓力隨溫度上升的速率。
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操作方式

  • 拖曳曲面上的 P，或它在底圖上的垂足。關鍵點按鈕可跳到精確值；在關鍵臨界點，兩個偏導數都恰好為 0。
  • 截面區的切換桿選擇改變哪個變數：∂f/∂x\partial f/\partial x 固定 y、沿 x 截取；∂f/∂y\partial f/\partial y 固定 x、沿 y 截取；中央的兩者則同時顯示兩個截面。截線圖可開關小視窗；只有一個截面時，也能在其中沿截線拖曳 P。點區有兩個微調輪，一個沿截線移動 P，另一個移動截面。簡報模式開啟適合投影的全螢幕視圖（← → 沿截線移動 P，↑ ↓ 移動截面，X、Y、B 切換變數選項，H 隱藏答案）。
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相關概念

延伸閱讀: 維基百科: Partial derivative (英文); OpenStax, Calculus Volume 3, 4.3 Partial Derivatives (英文).