Math

Çok değişkenli analiz · Kısmi türev

Kısmi türev

f(x, y)'nin x'e göre ∂f/∂x kısmi türevi, y sabit tutulurken x değiştiğinde f'nin değişim hızıdır. z = f(x, y) yüzeyinde y = sabit düzleminin kestiği eğrinin eğimidir.

01

Bu görselleştirmede kısmi türev

İki değişkenli f(x,y)f(x, y) fonksiyonunun (a,b)(a, b) noktasındaki x'e göre kısmi türevi, ∂f/∂x\partial f/\partial x veya fxf_x ile yazılır; tek değişkenli x↦f(x,b)x \mapsto f(x, b) fonksiyonunun x=ax = a noktasındaki olağan türevidir. y sabit tutulur, yalnızca x değişir. y'ye göre kısmi türev de aynı biçimde x'i sabit tutar. Sayfa ikisini altı yüzeyde gösterir.

Kısmi türev
∂f∂x(a,b)=lim⁡h→0f(a+h, b)−f(a,b)h=ddxf(x,b)∣x=a\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h,\, b) - f(a, b)}{h} = \frac{d}{dx} f(x, b)\Big|_{x = a}

fx(a,b)f_x(a, b) (veya fx′(a,b)f'_x(a, b)), (a,b)(a, b) noktası da (x0,y0)(x_0, y_0) olarak yazılır. Cam yüzey z=f(x,y)z = f(x, y) grafiğidir; eş yükselti haritası zemindedir. Mavi P noktasından geçen dikey y=by = b düzlemi, yüzeyi kesit denilen eğri boyunca keser: x↦f(x,b)x \mapsto f(x, b) grafiği. Gri ok x yönünde 1 birim ilerlemedir. Ucundan mavi teğet doğrusuna yükselme, işaretli düşey değişim (yukarı pozitif, aşağı negatif), P'deki kesit eğimi ∂f/∂x\partial f/\partial x olur. Görünümdeki pencere aynı kesiti olağan grafik olarak çizer. ∂f/∂y\partial f/\partial y seçmek düzlemi x=ax = a konumuna döndürür.

02

Dikkat edilecekler

  • Kısmi türev, sabit tutulan dahil P'nin iki koordinatına da bağlı olabilir. Kesit taşınınca eğri, onunla eğim de değişebilir: f=xy/4f = xy/4 üzerinde x boyunca her kesit doğrudur; ∂f/∂x=y/4\partial f/\partial x = y/4 eğimi yalnızca hangi kesiti aldığınıza bağlıdır.
  • ∂f/∂x=0\partial f/\partial x = 0, yalnızca x kesitinin P'de yatay olduğunu söyler. Türevlenebilir fonksiyon tanım kümesinin iç noktasında yerel maksimum veya minimum alıyorsa iki kısmi türev de 0'dır; ama bu tek başına yetmez: eyer noktasında da ikisi 0'dır.
  • Yükselme yüzeyde değil, teğet doğrusunda ölçülür: hh adımında kesitin kendisi yaklaşık h ∂f/∂xh\,\partial f/\partial x kadar değişir; hh küçüldükçe uyum artar.
  • 3B görünüm gerçek oranları, z'yi x ve y ile aynı ölçekte tutar. Ancak çizginin ekranda ne kadar dik göründüğü bakış açısına bağlıdır. Kesit penceresi eşit ölçeklerle tam karşıdan çizer; eğimler orada doğrudan karşılaştırılabilir.
03

Nerede kullanılır?

  • İki kısmi türev birlikte gradyanı ∇f=(fx,fy)\nabla f = (f_x, f_y) oluşturur. f türevlenebilirse kol İkisi konumundayken gösterilen iki teğet, teğet düzlemi z=f(a,b)+fx (x−a)+fy (y−b)z = f(a, b) + f_x\,(x - a) + f_y\,(y - b) içinde yer alır. İki kısmi türevin varlığı, teğet düzleminin varlığı için tek başına yeterli değildir.
  • Bir nicelik başka birkaç niceliğe bağlıysa, kısmi türev diğerleri sabitken birine verdiği tepkiyi ölçer. Örneğin sabit hacimde gaz basıncının sıcaklıkla ne kadar hızlı arttığını.
04

Kontroller

  • Yüzeydeki P'yi veya haritadaki izdüşümünü sürükleyin. Önemli noktalar tam değerlere geçer; önemli bir kritik noktada iki kısmi türev de tam 0'dır.
  • Kesit kolu değişen değişkeni seçer: ∂f/∂x\partial f/\partial x y'yi sabit tutup x boyunca keser; ∂f/∂y\partial f/\partial y x'i sabit tutup y boyunca keser; ortadaki İkisi iki kesiti birlikte gösterir. Kesit grafiği pencereyi açar veya kapatır; tek kesitte P orada da sürüklenebilir. Nokta içindeki iki çarktan biri P'yi kesitte yürütür, diğeri kesiti taşır. Sunum modu, projektörler için tam ekran görünümü açar (← → P'yi kesitte yürütür, ↑ ↓ kesiti taşır, X, Y ve B kolu değiştirir, H yanıtları gizler).
05

İlgili konular

Ek okumalar: Vikipedi: Partial derivative (İngilizce); OpenStax, Calculus Volume 3, 4.3 Partial Derivatives (İngilizce).