Dérivée partielle : visualisation 3D interactive

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La dérivée partielle dans cette visualisation

Pour une fonction de deux variables $f(x, y)$ , la dérivée partielle par rapport à x en $(a, b)$ , notée $\partial f/\partial x$ ou $f_x$ , est la dérivée ordinaire de la fonction d’une variable $x \mapsto f(x, b)$ en $x = a$ : y reste fixe et seul x varie. La dérivée partielle par rapport à y fixe x de la même façon. Cette page montre les deux sur six surfaces.

Dérivée partielle

\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h,\, b) - f(a, b)}{h} = \frac{d}{dx} f(x, b)\Big|_{x = a}

On écrit aussi $f_x(a, b)$ (ou $f'_x(a, b)$ ), et le point $(a, b)$ sous la forme $(x_0, y_0)$ . La surface transparente est le graphe de $z = f(x, y)$ , avec sa carte de niveaux au sol. Le plan vertical $y = b$ passant par le point bleu P découpe la surface selon une courbe, la coupe : le graphe de $x \mapsto f(x, b)$ . La flèche grise est un pas de 1 dans la direction x ; l’élévation de sa pointe jusqu’à la tangente bleue, une variation verticale signée (positive vers le haut, négative vers le bas), vaut $\partial f/\partial x$ , la pente de la coupe en P. La fenêtre sur la vue trace cette même coupe comme graphique ordinaire. Choisir $\partial f/\partial y$ tourne le plan vers $x = a$ .

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À observer

Une dérivée partielle peut dépendre des deux coordonnées de P, y compris celle qui reste fixe. Déplacez la coupe : la courbe change, et sa pente peut changer avec elle. Pour $f = xy/4$ , toute coupe selon x est une droite, et sa pente $\partial f/\partial x = y/4$ ne dépend que de la coupe choisie.
$\partial f/\partial x = 0$ signifie seulement que la coupe selon x a une tangente horizontale en P. Lorsqu’une fonction différentiable admet un maximum ou un minimum local en un point intérieur de son domaine, les deux dérivées partielles valent 0 ; mais cela ne suffit pas : en un point selle, elles valent aussi toutes deux 0.
L’élévation est mesurée sur la tangente, pas sur la surface : sur un pas $h$ , la coupe elle-même varie d’environ $h\,\partial f/\partial x$ , avec une meilleure précision lorsque $h$ diminue.
La vue 3D garde les proportions réelles, z à la même échelle que x et y, mais la raideur apparente d’une droite à l’écran dépend de l’angle de vue. La fenêtre de coupe la montre de face, avec des échelles égales : on peut donc y comparer directement les pentes.

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Applications

Les deux dérivées partielles forment ensemble le gradient $\nabla f = (f_x, f_y)$ . Là où f est différentiable, les deux tangentes affichées avec le levier sur Deux coupes appartiennent au plan tangent $z = f(a, b) + f_x\,(x - a) + f_y\,(y - b)$ . L’existence des deux dérivées partielles ne suffit pas à elle seule à garantir celle d’un plan tangent.
Dès qu’une quantité dépend de plusieurs autres, une dérivée partielle mesure sa réponse à l’une d’elles, les autres restant fixes, par exemple la rapidité d’augmentation de la pression d’un gaz avec la température à volume constant.

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Commandes

Déplacez P sur la surface ou sa projection sur la carte. Les points remarquables donnent des valeurs exactes ; en un point critique remarquable, les deux dérivées partielles valent exactement 0.
Le levier de Coupe choisit la variable qui change : $\partial f/\partial x$ fixe y et coupe selon x, $\partial f/\partial y$ fixe x et coupe selon y, et au milieu, Deux coupes affiche les deux coupes ensemble. Graphique de la coupe ouvre ou ferme la fenêtre ; avec une seule coupe, on peut aussi y déplacer P. Parmi les deux roues de Point, l’une déplace P le long de la coupe et l’autre déplace le plan de coupe. Le Mode présentation ouvre une vue en plein écran pour la projection (← → parcourent la coupe avec P, ↑ ↓ déplacent la coupe, X, Y et B déplacent le levier, H masque les réponses).

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Voir aussi

D05Dérivée
E10Carte de niveauxÀ venir
E13Plan tangent
E15Gradient
E16Critère des dérivées secondesÀ venir

Pour aller plus loin: Wikipédia: Partial derivative (Anglais); OpenStax, Calculus Volume 3, 4.3 Partial Derivatives (Anglais).