Plan tangent : visualisation 3D interactive

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Le plan tangent dans cette visualisation

Si $f(x, y)$ est différentiable en $(a, b)$ , la surface $z = f(x, y)$ y possède un plan tangent : le graphe de l’approximation linéaire, ou linéarisation, $L$ . Il est construit à partir des deux dérivées partielles, et c’est l’unique plan que la surface épouse de plus en plus étroitement à mesure qu’on approche du point. Le point $(a, b)$ se note aussi $(x_0, y_0)$ .

Plan tangent

z = L(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)\,(x - a) + f_y(a, b)\,(y - b)

La surface transparente est le graphe de f, la feuille bleue est le plan en P, et les lignes bleues qui s’y trouvent sont les tangentes aux deux coupes de la surface passant par P (selon x et selon y) : elles engendrent le plan. Le carré rouge sur la carte est $|x - a| \le w,\ |y - b| \le w$ . Réduire w agrandit la vue autour de P, du même facteur en x, y et z. Le segment jaune marque l’écart vertical maximal entre la surface et le plan sur le carré (sa partie dans le domaine, estimée sur une grille fine) ; l’affichage le divise par w. Être différentiable signifie exactement que ce rapport tend vers 0, donc que l’écart maximal est o(w) :

Différentiable en (a, b)

\max_{|x-a|,\,|y-b| \le w} \frac{|f(x, y) - L(x, y)|}{w} \to 0 \quad (w \to 0)

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À observer

Là où la partie d’ordre deux de f en P ne s’annule pas (la colline, les vagues en la plupart des points), l’écart diminue en $w^2$ lorsque w est petit ; chaque zoom par dix rend donc le rapport environ dix fois plus petit. Sur le bol et la selle, c’est exact en tout point. Là où la partie d’ordre deux s’annule, il diminue plus vite : à l’origine des vagues, d’un facteur cent par zoom de dix.
Les dérivées partielles ne suffisent pas. Sur le pli (nom donné ici au contre-exemple classique $f = 0.9\,xy/\sqrt{x^2 + y^2}$ , $f(0, 0) = 0$ ), elles valent toutes deux 0 à l’origine et donnent le plan $z = 0$ , mais l’écart maximal reste $(0.9/\sqrt2)\,w \approx 0.636\,w$ , aux quatre coins du carré, à chaque zoom : pas de plan tangent en ce point. À la pointe du cône, les dérivées partielles n’existent même pas. Partout ailleurs, les deux surfaces sont différentiables.
Un plan tangent peut traverser la surface : en un point selle, il est horizontal, avec la surface au-dessus dans une direction et en dessous dans une autre.
La vue 3D est en perspective : les inclinaisons à l’écran dépendent donc du point de vue. L’affichage donne l’équation du plan avec des coefficients arrondis (≈), et l’écart maximal est une estimation échantillonnée, pas une borne.

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Applications

Approximation linéaire : près de $(a, b)$ , $f(x, y) \approx L(x, y)$ ; la variation $dz = f_x\,dx + f_y\,dy$ est la différentielle totale. Le vecteur $(f_x, f_y, -1)$ est normal au plan.
Dans les méthodes numériques, les dérivées locales construisent chaque étape d’une itération : la méthode de Newton pour un système d’équations résout les équations linéarisées, et la descente de gradient suit le gradient, qui décrit l’inclinaison du plan tangent.

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Commandes

Déplacez le curseur vers 0.001 pour agrandir ; w → 0 agrandit d’un facteur dix à chaque étape. Sur la vue de la surface entière (w = 1), déplacez P sur la surface ou sa projection sur la carte ; les roues et les points remarquables le déplacent à tout niveau de zoom. Coupes affiche les deux coupes et leurs tangentes ; Carte indique votre position.
Le Mode présentation ouvre une vue en plein écran pour la projection (Espace agrandit, ← → modifient w d’un facteur dix, H masque les réponses).

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Voir aussi

E12Dérivée partielle
E15Gradient
D07Approximation linéaire
E10Carte de niveauxÀ venir
E16Critère des dérivées secondesÀ venir

Pour aller plus loin: OpenStax, Calculus Volume 3, 4.4 Tangent Planes and Linear Approximations (Anglais).