Math

Kalkulus multivariabel · Gradien

Gradien

Gradien fungsi yang terdiferensialkan adalah vektor turunan parsialnya, ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y). Saat tidak nol, vektor ini menunjuk ke arah kenaikan fungsi tercepat, dan panjangnya adalah kemiringan paling curam itu.

01

Gradien dalam visualisasi ini

Gradien fungsi f(x,y)f(x, y), ditulis ∇f\nabla f atau grad⁡f\operatorname{grad} f, adalah vektor turunan parsialnya, ∇f=(fx,fy)\nabla f = (f_x, f_y). Saat ff terdiferensialkan dan ∇f≠0\nabla f \ne 0, gradien menunjuk ke arah kenaikan ff tercepat, dan panjangnya adalah laju tercepat itu. Halaman ini menampilkannya pada enam permukaan bersama turunan berarah, yaitu laju perubahan ff dalam arah yang dipilih.

Permukaan kaca adalah grafik z=f(x,y)z = f(x, y); peta konturnya terletak di lantai. Titik biru P berada pada permukaan di atas (a,b)(a, b). Panah merah u adalah vektor satuan horizontal pada sudut θ\theta, diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu xx positif. Untuk satu langkah horizontal sepanjang satu satuan searah u, bidang singgung naik sebesar ruas kuning: turunan berarah

Turunan berarah
Duf(a,b)=∇f⋅u=fxcos⁡θ+fysin⁡θ.D_u f(a, b) = \nabla f \cdot u = f_x \cos\theta + f_y \sin\theta.

Turunan berarah juga ditulis ∂f∂l\dfrac{\partial f}{\partial l}, dengan arah berupa vektor satuan el=(cos⁡α,cos⁡β)e_l = (\cos\alpha, \cos\beta); di sini θ\theta diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu xx positif, sehingga cos⁡α=cos⁡θ\cos\alpha = \cos\theta dan cos⁡β=sin⁡θ\cos\beta = \sin\theta. Cincin biru adalah lingkaran satuan di sekitar P yang diangkat ke bidang singgung. Titik tertingginya terletak searah gradien, setinggi ∣∇f∣|\nabla f| di atas P, karena

Kemiringan paling curam
Duf=∣∇f∣cos⁡φ≤∣∇f∣,D_u f = |\nabla f| \cos\varphi \le |\nabla f|,

dengan φ\varphi sudut antara u dan ∇f\nabla f. Kemiringan terbesar ada searah gradien, nol sepanjang kontur melalui P, dan paling negatif berlawanan arah gradien.

02

Hal yang perlu diperhatikan

  • Gradien tegak lurus terhadap kontur yang melalui P. Kontur yang digambar pada selisih ff yang sama berdesakan di tempat ∣∇f∣|\nabla f| besar.
  • Saat u berputar satu putaran, titik peta (a,b)+(Duf) u(a, b) + (D_u f)\,u menelusuri lingkaran yang diameternya membentang dari (a,b)(a, b) hingga (a,b)+∇f(a, b) + \nabla f. Saat ∇f=0\nabla f = 0, lingkaran menyusut menjadi titik itu sendiri.
  • Arah naik paling curam tidak harus menunjuk ke puncak: pada bukit yang memanjang, kedua arah itu berbeda.
  • Turunan parsial adalah turunan berarah: u=(1,0)u = (1, 0) memberikan fxf_x, dan u=(0,1)u = (0, 1) memberikan fyf_y.
  • Saat ∇f=0\nabla f = 0 (titik kritis), kemiringan di setiap arah 0 dan tidak ada arah paling curam. Pelana adalah titik seperti ini yang bukan maksimum lokal maupun minimum lokal.
  • Kenaikan kuning berada pada bidang singgung: ini adalah pendekatan linear. Untuk langkah horizontal pendek hh searah u, permukaan itu sendiri naik sebesar f((a,b)+hu)−f(a,b)≈h Duff((a, b) + h u) - f(a, b) \approx h\,D_u f, dan makin kecil hh, makin baik kecocokannya.
03

Penerapannya

  • Penurunan gradien, metode dasar untuk melatih model pembelajaran mesin, menurunkan nilai fungsi melalui langkah kecil berulang yang berlawanan arah gradien, x←x−η ∇f(x)x \leftarrow x - \eta\,\nabla f(x). Saat ∇f≠0\nabla f \ne 0, langkah yang cukup kecil bergerak menurun, tetapi metode ini dapat berhenti pada minimum lokal, atau bergerak lambat di dekat pelana, alih-alih mencapai titik terendah.
  • Karena tegak lurus terhadap kurva aras, gradien memberikan arah normalnya. Saat fungsi mulus ff memiliki maksimum atau minimum pada kurva g=cg = c (dengan ∇g≠0\nabla g \ne 0), kedua gradien sejajar, ∇f=λ∇g\nabla f = \lambda \nabla g: gagasan di balik pengali Lagrange.
  • Dalam fisika, gaya konservatif adalah negatif gradien energi potensial, F=−∇UF = -\nabla U: gaya mendorong ke energi yang lebih rendah, dalam arah penurunan energi tercepat.
04

Kontrol

  • Seret P pada permukaan atau proyeksinya pada peta, atau seret ujung panah merah. Titik penting dan arah utama (+x+x, +y+y, ∇f\nabla f, ⊥∇f\perp\nabla f) langsung memilih nilai eksak; pada titik kritis yang ditandai, ∇f\nabla f tepat 0.
  • Sapukan memutar u satu putaran dan berhenti pada arah paling curam. Tampak atas melihat tegak ke bawah sehingga sudut pada peta terlihat sesuai nilai sebenarnya. Mode presentasi membuka tampilan layar penuh untuk proyektor (Spasi menyapukan, ← → memutar u, H menyembunyikan jawaban).
05

Terkait

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Gradient (Bahasa Inggris); OpenStax, Calculus Volume 3, 4.6 Directional Derivatives and the Gradient (Bahasa Inggris).