Doğrusal yaklaşım

Bir $f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki doğrusal yaklaşımı, teğet doğrusu yaklaşımı veya yerel doğrusallaştırma da denilen $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$ teğet doğrusudur. $f$, $a$ noktasında türevlenebilirse vardır. $a$ yerine $x_0$ kullanılarak $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x$ biçiminde de yazılır. Sayfa bunu yedi fonksiyonda gösterir: dört düzgün fonksiyon ve 0'da türevlenemeyen üç fonksiyon.

Grafik, iki eksende eşit ölçeklerle mavi P $= (a, f(a))$ noktasında yatay olarak merkezlenmiştir. Kırmızı Δx adımı yakınlaştırmayı da belirler: görünüm onunla küçülür; P'yi, teğetin yükselmesini ve Q'yu görünür tutmak için gerektiği kadar uzanır. Bu adımda teğet doğrusu mavi diferansiyel $dy = f'(a)\,\Delta x$ kadar, eğri ise $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$ kadar yükselir. Sarı ok hatadır:

Bir fonksiyon $a$ noktasında tam olarak $f(a + h) - f(a) - m h = o(|h|)$ sağlayan sonlu bir $m$ sayısı varsa türevlenebilirdir. Yani $h \to 0$ iki taraftan yaklaşırken hatanın $h$ değerine bölümü 0'a gider; o zaman $m = f'(a)$ olur. Sayfa adımı yalnızca sağa çizer ($h = \Delta x > 0$); bu yüzden görsel kanıtlamaz, örnekler. Teğetin nerede var olduğu her fonksiyonun formülünden okunur. Görünüm $\Delta x$ ile birlikte küçüldüğünden $|E|/\Delta x$, Q'da eğrinin doğrudan yaklaşık kaç görünüm boyu saptığını söyler; türevlenebilir eğri bu yüzden yakınlaştıkça daha düz görünür. $f''(a) \ne 0$ ise küçük $\Delta x$ için $E \approx \tfrac12 f''(a)\,\Delta x^2$ olur; dolayısıyla $\Delta x$ küçük olduğunda her on kat yakınlaştırma hatayı yaklaşık yüz kat küçültür. $\sin x$ için 0'da olduğu gibi $f''(a) = 0$ ise hata daha da hızlı küçülür.