Aproximación lineal

La aproximación lineal de una función $f$ en un punto $a$, también llamada aproximación por la tangente o linealización local, es la tangente $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$. Existe cuando $f$ es derivable en $a$. También se escribe $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x$, con $x_0$ para $a$. Esta página la muestra en siete funciones: cuatro suaves y tres no derivables en 0.

La gráfica está centrada horizontalmente en el punto azul P $= (a, f(a))$, con la misma escala en ambos ejes. El paso rojo Δx también determina la ampliación: la vista se reduce con él y se estira cuando hace falta para mantener visibles P, el ascenso de la tangente y Q. En ese paso, la tangente asciende el diferencial azul $dy = f'(a)\,\Delta x$, mientras la curva asciende $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$. La flecha amarilla es el error:

Una función es derivable en $a$ exactamente cuando existe un número finito $m$ con $f(a + h) - f(a) - m h = o(|h|)$, es decir, cuando el error dividido entre $h$ tiende a 0 al tender $h \to 0$ por ambos lados; entonces $m = f'(a)$. La página dibuja el paso solo hacia la derecha ($h = \Delta x > 0$), así que la imagen lo ilustra, no lo demuestra; dónde existe una tangente se deduce de la fórmula de cada función. Como la vista se reduce junto con $\Delta x$, $|E|/\Delta x$ indica aproximadamente cuánto se ha separado la curva de la recta en Q, medido en tamaños de la vista; por eso una curva derivable parece más recta cuanto más se amplía. Si $f''(a) \ne 0$, entonces $E \approx \tfrac12 f''(a)\,\Delta x^2$ para $\Delta x$ pequeño; una vez que $\Delta x$ es pequeño, cada ampliación por diez hace el error unas cien veces menor. Donde $f''(a) = 0$, como para $\sin x$ en 0, decrece aún más deprisa.