Taylor Serisi: Etkileşimli Görselleştirme

01

Bu görselleştirmede Taylor serisi

$f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki Taylor serisi (Taylor açılımı), oradaki türevlerinden kurulan kuvvet serisidir; $a = 0$ noktasında Maclaurin serisi de denir. Merkez $x_0$ ile de yazılır. $n$ dereceli kısmi toplamı Taylor polinomu $P_n$ 'dur: derecesi en fazla $n$ olan, $a$ noktasındaki değeri ve ilk $n$ türevi $f$ ile aynı olan tek polinom:

Taylor polinomu

P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k.

Koyu eğri $f$ , sarı eğri $P_n$ , mavi nokta $a$ merkezidir. $x$ eksenindeki sarı çubuk bir ölçümdür: $|f(x) - P_n(x)| < 0.01$ sağlayan en geniş $|x - a| < r$ aralığı. $a$ iki yanında 0.0025 aralıklı noktaları kontrol edip ilk başarısızlığı incelterek bulunur ve aşağı yuvarlanarak gösterilir. Mavi ayraçlar $a \pm R$ konumundadır; R yakınsama yarıçapıdır. Seri $|x - a| < R$ için yakınsar, $|x - a| > R$ için ıraksar. Buradaki yedi fonksiyonda aralık içindeki toplam $f$ kendisidir; $R$ , $a$ merkezinden $f$ fonksiyonunun bozulduğu en yakın noktaya, karmaşık noktalar dahil uzaklıktır.

Verilen $x$ için $P_n$ ile $f$ arasındaki fark kalan terimle ölçülür. $f$ , $a$ ile $x$ arasındaki tüm aralıkta $n + 1$ türeve sahipse (aralık, $1/(1 - x)$ fonksiyonunun 1'deki kutbu gibi bir tekilliği geçmemeli), o zaman

Kalan terim (Lagrange biçimi)

f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,(x-a)^{n+1}\quad a \text{ ile } x\text{ arasındaki bir } \xi \text{ için.}

02

Dikkat edilecekler

Yarıçap içinde kısmi toplamlar burada $f$ değerine yakınsar; her böyle $x$ için $n$ arttıkça hata 0'a gider, ama her adımda azalmak zorunda değildir. Dışında terimler 0'a gitmez, $P_n(x)$ yerleşmez. Çubuk yalnızca $R$ değerine yaklaşır: ekranda ölçülür; $R$ ise formülden gelir.
Fonksiyon tüm gerçek doğruda düzgün olup yine de sonlu yarıçapa sahip olabilir. $1/(1 + x^2)$ , $\pm i$ karmaşık noktalarında tanımsızdır; $a$ çevresindeki serisi yalnızca $|x - a| < \sqrt{1 + a^2}$ için yakınsar.
Aralığın uçlarında her şey olabilir: $\ln(1 + x)$ fonksiyonunun 0'daki serisi $x = 1$ noktasında ( $\ln 2$ değerine) yakınsar, $x = -1$ noktasında yakınsamaz. $1/(1 - x)$ serisi hiçbir uçta, $\sqrt{1 + x}$ serisi iki uçta da yakınsar.
$a = 0$ noktasında $\sin x$ yalnızca tek, $\cos x$ yalnızca çift kuvvetler içerir; sinüsün $P_{2m}$ ve $P_{2m-1}$ polinomları aynıdır. n → ∞ bu sıfır terimleri atlar; her adım eğriyi değiştirir.
Yakınsama tek başına toplamı $f$ yapmaz. $x \ne 0$ için $e^{-1/x^2}$ , 0'da 0 olan fonksiyonun 0'daki her türevi 0'dır; oradaki Taylor serisi tüm $x$ için 0 olur.

03

Nerede kullanılır?

Fizik bir nokta yakınında ilk terimleri tutar: sarkacın küçük salınımları için $\sin\theta \approx \theta$ ; $(1 - v^2/c^2)^{-1/2} \approx 1 + v^2/(2c^2)$ ise düşük hızlarda göreli kinetik enerjiyi $\tfrac12 mv^2$ yapar.
Kalan terim hesabın kaç terim gerektirdiğini söyler: $1/k!$ toplamını $k = 0$ ile $10$ arasında almak, $e^x$ için $P_{10}(1)$ olup $e$ değerini şimdiden $3 \times 10^{-8}$ yakınlıkla verir.

04

Kontroller

Derece düğmesini çevirin veya birer tane sonraki sıfır olmayan terimi $n = 30$ değerine kadar eklemek için n → ∞ tuşuna basın (en üstte yeniden basmak 0'dan oynatır). Merkezi taşımak için mavi noktayı veya eksen işaretini sürükleyin; önemli merkezler tam değerlere geçer.
Grafik altındaki şerit $|f - P_n|$ değerini grafik boyunca logaritmik ölçekte gösterir. Sunum modu, projektörler için tam ekran görünümü açar (Boşluk terim ekler, ← → dereceyi değiştirir, H yarıçapı gizler).

05

İlgili konular

Ek okumalar: Vikipedi: Taylor series (İngilizce); OpenStax, Calculus Volume 2, 6.3 Taylor and Maclaurin Series (İngilizce).