Serie di Taylor: visualizzazione interattiva

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La serie di Taylor in questa visualizzazione

La serie di Taylor (sviluppo di Taylor) di una funzione $f$ in un punto $a$ è la serie di potenze costruita dalle sue derivate in quel punto; in $a = 0$ si chiama anche serie di Maclaurin. Il centro si indica anche con $x_0$ . La sua somma parziale di grado $n$ è il polinomio di Taylor $P_n$ , l’unico polinomio di grado al massimo $n$ il cui valore e le prime $n$ derivate in $a$ coincidono con quelli di $f$ :

Polinomio di Taylor

P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k.

La curva scura è $f$ , quella gialla è $P_n$ e il punto blu indica il centro $a$ . La barra gialla sull’asse $x$ è una misura: il più ampio intervallo $|x - a| < r$ su cui $|f(x) - P_n(x)| < 0.01$ , trovato controllando punti distanti 0.0025 su entrambi i lati di $a$ e affinando il primo superamento, e mostrato arrotondato per difetto. Le parentesi blu sono in $a \pm R$ , dove R è il raggio di convergenza: la serie converge per $|x - a| < R$ e diverge per $|x - a| > R$ . Per le sette funzioni qui presenti, la somma in quell’intervallo è proprio $f$ e $R$ è la distanza da $a$ al punto più vicino in cui $f$ diventa singolare, compresi i punti complessi.

La distanza di $P_n$ da $f$ in un dato $x$ è misurata dal resto. Se $f$ ha $n + 1$ derivate sull’intero intervallo tra $a$ e $x$ (quindi l’intervallo non deve attraversare una singolarità, come il polo di $1/(1 - x)$ in 1), allora

Resto (forma di Lagrange)

f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,(x-a)^{n+1}\quad\text{per un certo } \xi \text{ tra } a \text{ e } x\text{.}

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Cosa osservare

Qui, entro il raggio, le somme parziali convergono a $f$ , quindi in ogni $x$ di quel tipo l’errore tende a 0 al crescere di $n$ , anche se non necessariamente a ogni singolo passo. Fuori, i termini non tendono a 0 e $P_n(x)$ non si stabilizza. La barra si avvicina soltanto a $R$ : è misurata sullo schermo, mentre $R$ viene dalla formula.
Una funzione può essere regolare su tutta la retta reale e avere comunque raggio finito. $1/(1 + x^2)$ non è definita nei punti complessi $\pm i$ , quindi la sua serie attorno a $a$ converge solo per $|x - a| < \sqrt{1 + a^2}$ .
Agli estremi dell’intervallo può succedere di tutto: la serie di $\ln(1 + x)$ in 0 converge in $x = 1$ (a $\ln 2$ ) ma non in $x = -1$ ; quella di $1/(1 - x)$ non converge in nessuno dei due estremi, quella di $\sqrt{1 + x}$ in entrambi.
In $a = 0$ , $\sin x$ ha solo potenze dispari e $\cos x$ solo pari, quindi $P_{2m}$ e $P_{2m-1}$ del seno sono lo stesso polinomio. n → ∞ salta questi termini nulli, così ogni passo cambia la curva.
La sola convergenza non rende la somma uguale a $f$ . La funzione uguale a $e^{-1/x^2}$ per $x \ne 0$ e a 0 in 0 ha tutte le derivate uguali a 0 in 0, quindi la sua serie di Taylor lì vale 0 per ogni $x$ .

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Dove si usa

La fisica conserva i primi termini vicino a un punto: $\sin\theta \approx \theta$ per le piccole oscillazioni di un pendolo e $(1 - v^2/c^2)^{-1/2} \approx 1 + v^2/(2c^2)$ trasforma l’energia cinetica relativistica in $\tfrac12 mv^2$ a basse velocità.
Il resto indica quanti termini servono a un calcolo: sommare $1/k!$ da $k = 0$ a $10$ , cioè $P_{10}(1)$ per $e^x$ , dà già $e$ con errore entro $3 \times 10^{-8}$ .

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Comandi

Ruota la manopola Grado oppure premi n → ∞ per aggiungere il prossimo termine non nullo, uno alla volta, fino a $n = 30$ (premendo di nuovo al massimo si riparte da 0). Trascina il punto blu o il segno sull’asse per spostare il centro; i centri notevoli portano a valori esatti.
La striscia sotto il grafico mostra $|f - P_n|$ su scala logaritmica lungo il grafico. Modalità presentazione apre una vista a schermo intero per proiettori (Spazio aggiunge termini, ← → cambiano il grado, H nasconde il raggio).

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Concetti collegati

D05Derivata
D07Approssimazione lineare
D34SerieIn programma
A15Piano complesso

Per approfondire: Wikipedia: Taylor series (Inglese); OpenStax, Calculus Volume 2, 6.3 Taylor and Maclaurin Series (Inglese).