Piano complesso

Il piano complesso (anche diagramma di Argand o piano di Gauss) rappresenta il numero complesso $a + bi$ come il punto $(a, b)$: la parte reale in orizzontale, quella immaginaria in verticale. La sua distanza da 0 è il modulo $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ e la sua direzione è l’argomento $\arg z$, l’angolo rispetto al semiasse reale positivo; la pagina ne dà il valore principale, in $(-180^\circ, 180^\circ]$, e non ne assegna uno in 0. Quindi $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$, la forma polare. La pagina mostra cosa fanno all’intero piano l’addizione, la moltiplicazione e la moltiplicazione ripetuta per un numero $w$.

Moltiplicare per $w$ manda 1 in $w$ e $i$ in $iw$, che è $w$ ruotato di 90°. La griglia unitaria tenue diventa la griglia gialla generata da $w$ e $iw$: l’intero piano ruota di $\arg w$ attorno a 0 e si dilata di $|w|$, quindi la griglia trasformata resta sempre quadrata. Un punto z = $a + bi$ conserva le proprie coordinate nella griglia, quindi $zw = a\cdot w + b\cdot(iw)$ — Scomposizione nelle componenti disegna entrambi i percorsi. Con $w = c + di$, $iw = -d + ci$: ruotare $w$ di un quarto di giro porta la sua parte immaginaria $d$ sul semiasse reale negativo, ed è questo il $-bd$ della formula, la traccia di $i^2 = -1$. I triangoli 0–1–$z$ e 0–$w$–$zw$ sono simili (per $w \ne 0$): ecco perché le lunghezze si moltiplicano e gli angoli si sommano; una somma oltre 180° viene riportata indietro di 360°. Moltiplicare per 0 manda ogni punto in 0. Dividere per $w \ne 0$ inverte tutto: ruota indietro di $\arg w$ e riduce di $|w|$.

Aggiungi trasla l’intero piano di $w$ (il parallelogramma 0, $z$, $w$, $z + w$) e $|z + w| \le |z| + |w|$, con uguaglianza solo se $z$ e $w$ hanno lo stesso verso oppure uno dei due è zero. Ripeti segna $z, zw, zw^2, \dots$: ogni passo ruota di $\arg w$ e dilata di $|w|$, quindi i punti giacciono su una spirale equiangolare. Con $|w| = 1$ e $\arg w$ pari a una frazione $p/q$ di giro, tornano dopo $q$ passi (partendo da 1: le radici $q$-esime dell’unità); con $w = e^{i\cdot 1}$ non tornano mai, perché $1/2\pi$ è irrazionale.