복소평면

복소평면(아르강 도표 또는 가우스 평면)은 복소수 $a + bi$를 점 $(a, b)$으로 나타냅니다. 실수부가 가로, 허수부가 세로입니다. 0에서의 거리는 절댓값 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, 방향은 양의 실수축에서 잰 각인 편각 $\arg z$입니다. 이 페이지는 $(-180^\circ, 180^\circ]$ 범위의 주편각을 표시하며, 0에는 편각이 없습니다. 따라서 극형식은 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$입니다. 이 페이지에서는 수 $w$를 더하기, 곱하기, 반복해서 곱하기가 평면 전체에 어떤 변화를 주는지 보여 줍니다.

$w$를 곱하면 1은 $w$로, $i$는 $w$를 90° 돌린 $iw$으로 갑니다. 희미한 단위 격자는 $w$과 $iw$이 만드는 노란 격자로 바뀝니다. 평면 전체가 0을 중심으로 $\arg w$만큼 회전하고 $|w|$배로 늘어나므로, 변환된 격자도 항상 정사각형입니다. 점 z = $a + bi$은 격자 안의 좌표를 유지하므로 $zw = a\cdot w + b\cdot(iw)$입니다. 성분별 분해는 두 경로를 모두 그립니다. $w = c + di$이면 $iw = -d + ci$입니다. $w$를 사분의 일 회전하면 허수부 $d$가 음의 실수축으로 옮겨가며, 이것이 공식의 $-bd$, 즉 $i^2 = -1$의 흔적입니다. 삼각형 0–1–$z$과 0–$w$–$zw$는 $w \ne 0$일 때 닮음이므로 길이는 곱해지고 각은 더해집니다. 각의 합이 180°를 넘으면 360°를 빼서 되돌립니다. 0을 곱하면 모든 점이 0으로 갑니다. $w \ne 0$로 나누면 모든 과정이 역으로 진행됩니다. $\arg w$만큼 반대로 회전하고 길이를 $|w|$로 나눕니다.

더하기는 평면 전체를 $w$만큼 평행이동합니다(평행사변형 0, $z$, $w$, $z + w$). $|z + w| \le |z| + |w|$이며, 등호는 $z$과 $w$이 같은 방향이거나 둘 중 하나가 영일 때만 성립합니다. 반복은 $z, zw, zw^2, \dots$을 표시합니다. 매 단계 $\arg w$만큼 회전하고 $|w|$배로 늘어나므로 점들은 등각나선 위에 놓입니다. $|w| = 1$이고 $\arg w$가 한 바퀴의 유리수 비율 $p/q$이면 $q$단계 뒤 돌아옵니다(1에서 시작하면 1의 $q$제곱근). $w = e^{i\cdot 1}$에서는 $1/2\pi$이 무리수이므로 결코 돌아오지 않습니다.