망델브로 집합

이 시각화에서 살펴보는 망델브로 집합

망델브로 집합 $M$는 아래 수열이 유계로 남는 복소수 $c$의 집합입니다. $|z_n| > 2$가 되면 수열은 무한대로 달아납니다. 따라서 $c$가 $M$에 속할 필요충분조건은 모든 $n$에 대해 $|z_n| \le 2$인 것입니다.

두 그림이 보여 주는 것

큰 그림인 c평면의 각 점은 $c$의 값입니다. 0에서 시작한 수열이 반지름 2인 원판을 얼마나 빨리 벗어나는지에 따라 색을 칠합니다. 부드러운 색 변화는 표시 효과일 뿐입니다. 검정은 ‘반복 한도 $N$ 안에 탈출하지 않음’을 뜻합니다. 수치 판정이지 $c$가 집합에 속한다는 증명은 아닙니다.

작은 화면인 z평면에서는 빨간 조준점 아래의 $c$에 대해 각 점이 시작값 $z_0$입니다. 검정은 궤도가 유계로 남는 시작값들의 집합, 즉 채워진 쥘리아 집합 $K_c$를 나타냅니다(탈출 반지름 $\max(2, |c|)$). 노란 점들은 0의 궤도입니다. 매개변수 평면이 아닌 z평면에 있습니다. z평면의 점을 누르면 그곳에서 시작하는 궤도를 볼 수 있습니다.

왜 이런 모양일까?

빨간 버튼은 화면에 맞춰 고른 $n$을 증가시키며 영역 $L_n = \{c : |z_n| \le 2\}$을 차례로 보여 주고, $N$에서 끝납니다. 각 영역은 이전 영역 안에 있습니다($L_1$은 반지름 2인 원판입니다). $M$는 이들이 모두 공유하는 부분입니다.

큰 심장형 영역에서는 $z^2 + c$에 끌어당기는 고정점이 있습니다. 그 매개변수 영역은 $|\mu| < 1$일 때 $c = \mu/2 - \mu^2/4$로 나타납니다. 왼쪽 원판 $|c + 1| < 1/4$에서는 끌어당기는 주기 2 궤도가 있습니다. 기약분수 $p/q$ 위치에서 심장형 영역에 바로 붙은 각 돌출부에는 주기 $q$의 끌어당기는 궤도가 있으며, 더듬이의 주요 접합점에서 $q$개 가지로 갈라집니다(돌출부로 돌아가는 가지 포함).

두아디와 허버드는 1982년에 $M$이 연결됨을 증명했습니다. 파투와 쥘리아는 $z^2 + c$의 쥘리아 집합이 연결될 필요충분조건이 0의 궤도가 유계인 것임을 보였습니다. 따라서 $M$는 쥘리아 집합이 하나로 연결되는 $c$의 집합이기도 합니다. $c$가 $M$ 밖에 있으면 쥘리아 집합은 먼지처럼 흩어집니다.

헷갈리기 쉬운 점

• 검정은 ‘$N$단계 안에 탈출하지 않았다’는 뜻입니다. 경계 근처에서는 $N$을 늘리면 검은 픽셀이 유색으로 바뀔 수 있습니다.
• 떨어져 보이는 섬들도 눈에 보이지 않을 만큼 가는 실로 본체와 연결되어 있습니다.
• 작은 복사본은 정확한 축소판이 아닙니다. 각각 모양이 변형되어 있고 주변도 다릅니다.
• 궤도는 z평면에만 그립니다. c평면에는 궤도가 아니라 매개변수가 있습니다.

역사

파투와 쥘리아는 1918–1920년에 유리함수 반복 이론을 세웠습니다[1, 2]. 브룩스와 마텔스키는 이 집합의 초기 컴퓨터 그림을 만들었으며 논문은 1981년에 출판되었습니다[3]. 망델브로는 1980년에 복소 이차 반복의 컴퓨터 그림을 발표했습니다[4]. 1982년에 집합의 연결성을 증명한 두아디와 허버드는 그의 이름을 붙였습니다[5].

관련 개념

쥘리아 집합 · 로지스틱 사상 · 뉴턴 프랙털(제작 예정) · 복소수

참고 문헌

1. G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
2. P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
3. R. Brooks, J. P. Matelski, “The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2, C)”, in Riemann Surfaces and Related Topics, Annals of Mathematics Studies 97 (1981) 65–71.
4. B. B. Mandelbrot, “Fractal aspects of the iteration of z → λz(1 − z) for complex λ and z”, Annals of the New York Academy of Sciences 357 (1980) 249–259. doi:10.1111/j.1749-6632.1980.tb29690.x
5. A. Douady, J. H. Hubbard, “Itération des polynômes quadratiques complexes”, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Série I 294 (1982) 123–126.

더 읽어 보기: Wikipedia: Mandelbrot set (영어); MacTutor 수학사 아카이브: Benoit Mandelbrot (영어).