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複動力系統 · z → z² + c

Mandelbrot 集

Mandelbrot 集包含所有使 z 從 0 開始反覆套用 z → z² + c，卻永遠不會逃向無窮遠的複數 c。

這個視覺化中的 Mandelbrot 集

Mandelbrot 集 MM 是使下列數列保持有界的複數 cc 所成的集合。一旦 ∣zn∣>2|z_n| > 2，數列就會逃向無窮遠，因此 cc 屬於 MM，恰好等價於每個 nn 都滿足 ∣zn∣≤2|z_n| \le 2。

z0=0,zn+1=zn2+c,M={ c∈C:∣zn∣≤2  ∀n≥0 }z_0 = 0,\qquad z_{n+1} = z_n^2 + c,\qquad M = \{\, c \in \mathbb{C} : |z_n| \le 2 \ \ \forall n \ge 0 \,\}

兩幅圖各自顯示什麼

c 平面，也就是大圖：每一點都是一個 cc 值，依從 0 出發的數列多快離開半徑 2 的圓盤著色。平滑色彩僅供顯示。黑色表示「在迭代上限 NN 內未逃逸」，是數值判定，並非證明 cc 屬於集合。

z 平面，也就是小螢幕：對紅色準星下的 cc，每一點是起始值 z0z_0；黑色標示填充 Julia 集 KcK_c，即軌道保持有界的起始值（逃逸半徑 max⁡(2,∣c∣)\max(2, |c|)）。黃點是 0 的軌道，它存在於 z 平面，而不在參數平面中。點選 z 平面的一點，可改從該點開始軌道。

為什麼會長成這樣

紅色按鈕依適合目前視圖、逐漸增加的 nn，依序展示區域 Ln={c:∣zn∣≤2}L_n = \{c : |z_n| \le 2\}，最後到 NN：每個區域都包含在前一個之內（L1L_1 會是半徑 2 的圓盤）。MM 是它們共同的部分。

大心臟線內，z2+cz^2 + c 有吸引不動點：c=μ/2−μ2/4c = \mu/2 - \mu^2/4，其中 ∣μ∣<1|\mu| < 1。左側圓盤 ∣c+1∣<1/4|c + 1| < 1/4 內則有吸引性的 2 週期軌道。以最簡分數 p/qp/q 直接接在心臟線上的每個葉瓣，都有一條週期為 qq 的吸引軌道；其觸鬚在主要交會處分為 qq 條分支（包含返回葉瓣的那條）。

Douady 與 Hubbard 在 1982 年證明 MM 連通。Fatou 與 Julia 先前已證明，z2+cz^2 + c 的 Julia 集連通，恰好等價於 0 的軌道有界，因此 MM 也正是使 Julia 集連成一體的 cc 所成的集合；cc 位於 MM 外時，Julia 集就散成塵埃。

容易誤解的地方

歷史

Fatou 與 Julia 在 1918–1920 年建立有理函數迭代理論 [1, 2]。Brooks 與 Matelski 製作了此集合的早期電腦圖像，論文於 1981 年發表 [3]。Mandelbrot 在 1980 年發表複二次迭代的電腦圖像 [4]；Douady 與 Hubbard 在 1982 年證明集合連通，並以他的名字命名此集合 [5]。

相關概念

Julia 集 · 邏輯斯諦映射 · 牛頓碎形（頁面規劃中） · 複數

參考資料

  1. G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
  2. P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
  3. R. Brooks, J. P. Matelski, “The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2, C)”, in Riemann Surfaces and Related Topics, Annals of Mathematics Studies 97 (1981) 65–71.
  4. B. B. Mandelbrot, “Fractal aspects of the iteration of z → λz(1 − z) for complex λ and z”, Annals of the New York Academy of Sciences 357 (1980) 249–259. doi:10.1111/j.1749-6632.1980.tb29690.x
  5. A. Douady, J. H. Hubbard, “Itération des polynômes quadratiques complexes”, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Série I 294 (1982) 123–126.

延伸閱讀: 維基百科: Mandelbrot set (英文); MacTutor 數學史資料庫: Benoit Mandelbrot (英文).