Conjunto de Mandelbrot: explorador interativo

O conjunto de Mandelbrot nesta visualização

O conjunto de Mandelbrot $M$ é o conjunto dos números complexos $c$ para os quais a sucessão abaixo permanece limitada. Assim que $|z_n| > 2$ , a sucessão escapa para infinito; portanto, $c$ pertence a $M$ se e só se $|z_n| \le 2$ para todo o $n$ .

z_0 = 0,\qquad z_{n+1} = z_n^2 + c,\qquad M = \{\, c \in \mathbb{C} : |z_n| \le 2 \ \ \forall n \ge 0 \,\}

O que mostram as duas imagens

O plano c, a imagem grande: cada ponto é um valor de $c$ , colorido segundo a rapidez com que a sucessão a partir de 0 sai do disco de raio 2. A coloração suave serve apenas a visualização. O preto significa «não escapou dentro do limite de $N$ iterações» — um resultado numérico, não uma prova de que $c$ pertence ao conjunto.

O plano z, o ecrã pequeno: para o $c$ sob a mira vermelha, cada ponto é um valor inicial $z_0$ , e o preto assinala o conjunto de Julia preenchido $K_c$ , os valores iniciais cujas órbitas permanecem limitadas (raio de fuga $\max(2, |c|)$ ). Os pontos amarelos são a órbita de 0: ela pertence ao plano z, não ao dos parâmetros. Clique num ponto do plano z para iniciar a órbita nesse ponto.

Por que tem este aspeto

A tecla vermelha mostra sucessivamente as regiões $L_n = \{c : |z_n| \le 2\}$ , para valores crescentes de $n$ escolhidos de acordo com a vista, terminando em $N$ : cada região está dentro da anterior ( $L_1$ seria o disco de raio 2). $M$ é a parte comum a todas elas.

A cardioide grande é onde $z^2 + c$ tem um ponto fixo atrator: $c = \mu/2 - \mu^2/4$ , com $|\mu| < 1$ . O disco à esquerda, $|c + 1| < 1/4$ , é onde existe um ciclo atrator de período 2. Cada bulbo ligado diretamente à cardioide na fração $p/q$ (irredutível) contém um ciclo atrator de período $q$ , e a sua antena divide-se em $q$ ramos na junção principal (contando o que regressa ao bulbo).

Douady e Hubbard provaram em 1982 que $M$ é conexo. Fatou e Julia tinham mostrado que o conjunto de Julia de $z^2 + c$ é conexo se e só se a órbita de 0 é limitada; assim, $M$ é também o conjunto dos $c$ cujo conjunto de Julia forma uma só peça; para $c$ fora de $M$ , desfaz-se em poeira.

Equívocos frequentes

O preto significa «não escapou em $N$ passos». Perto da fronteira, aumentar $N$ pode transformar píxeis pretos em coloridos.
As ilhas que parecem separadas estão ligadas ao corpo principal por filamentos demasiado finos para se verem.
As pequenas cópias não são miniaturas exatas: cada uma é deformada, e a sua envolvente é diferente.
A órbita é desenhada apenas no plano z; o plano c contém o parâmetro, não a órbita.

História

Fatou e Julia desenvolveram a teoria da iteração de funções racionais em 1918–1920 [1, 2]. Brooks e Matelski produziram uma das primeiras imagens do conjunto por computador; o seu artigo foi publicado em 1981 [3]. Mandelbrot publicou imagens por computador da iteração quadrática complexa em 1980 [4], e Douady e Hubbard, que provaram em 1982 que o conjunto é conexo, deram-lhe o seu nome [5].

Conceitos relacionados

Conjunto de Julia · Aplicação logística · Fractal de Newton (página planeada) · Números complexos

Referências

G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
R. Brooks, J. P. Matelski, “The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2, C)”, in Riemann Surfaces and Related Topics, Annals of Mathematics Studies 97 (1981) 65–71.
B. B. Mandelbrot, “Fractal aspects of the iteration of z → λz(1 − z) for complex λ and z”, Annals of the New York Academy of Sciences 357 (1980) 249–259. doi:10.1111/j.1749-6632.1980.tb29690.x
A. Douady, J. H. Hubbard, “Itération des polynômes quadratiques complexes”, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Série I 294 (1982) 123–126.

Para saber mais: Wikipédia: Mandelbrot set (Inglês); MacTutor — História da Matemática: Benoit Mandelbrot (Inglês).