Himpunan Mandelbrot

Himpunan Mandelbrot dalam visualisasi ini

Himpunan Mandelbrot $M$ adalah himpunan bilangan kompleks $c$ yang membuat barisan di bawah tetap terbatas. Begitu $|z_n| > 2$, barisan menuju tak hingga, sehingga $c$ termasuk dalam $M$ tepat jika $|z_n| \le 2$ untuk setiap $n$.

Apa yang ditampilkan kedua gambar

Bidang c, gambar besar: setiap titik adalah nilai $c$, diwarnai menurut seberapa cepat barisan dari 0 keluar dari cakram berjari-jari 2. Pewarnaan mulus hanya untuk tampilan. Hitam berarti “tidak lolos dalam batas iterasi $N$” — keputusan numerik, bukan bukti bahwa $c$ ada dalam himpunan.

Bidang z, layar kecil: untuk $c$ di bawah penanda bidik merah, setiap titik adalah nilai awal $z_0$, dan hitam menandai himpunan Julia terisi $K_c$, nilai awal yang orbitnya tetap terbatas (jari-jari lolos $\max(2, |c|)$). Titik kuning adalah orbit 0: berada pada bidang z, bukan di antara parameter. Klik titik pada bidang z untuk memulai orbit dari sana sebagai gantinya.

Mengapa bentuknya demikian

Tombol merah menampilkan daerah $L_n = \{c : |z_n| \le 2\}$ secara berurutan, untuk $n$ yang meningkat sesuai tampilan, berakhir di $N$: masing-masing di dalam sebelumnya ($L_1$ adalah cakram berjari-jari 2). $M$ adalah bagian yang dimiliki semuanya.

Kardioid besar adalah tempat $z^2 + c$ memiliki titik tetap penarik: $c = \mu/2 - \mu^2/4$ dengan $|\mu| < 1$. Cakram di kirinya, $|c + 1| < 1/4$, adalah tempatnya memiliki siklus penarik periode 2. Setiap tonjolan yang menempel langsung pada kardioid di pecahan $p/q$ (bentuk paling sederhana) memuat siklus penarik berperiode $q$, dan antenanya terbelah menjadi $q$ cabang di persimpangan utama (termasuk cabang kembali ke tonjolan).

Douady dan Hubbard membuktikan pada 1982 bahwa $M$ terhubung. Fatou dan Julia telah menunjukkan bahwa himpunan Julia $z^2 + c$ terhubung tepat saat orbit 0 terbatas, sehingga $M$ juga merupakan himpunan $c$ dengan himpunan Julia tersambung; untuk $c$ di luar $M$, himpunan itu pecah menjadi debu.

Mudah disalahartikan

• Hitam berarti “tidak lolos dalam $N$ langkah”. Di dekat batas, $N$ yang lebih besar dapat mengubah piksel hitam menjadi berwarna.
• Pulau yang tampak terpisah tersambung ke badan utama oleh serabut yang terlalu tipis untuk terlihat.
• Salinan kecil bukan miniatur eksak: masing-masing terdistorsi dan lingkungannya berbeda.
• Orbit hanya digambar pada bidang z; bidang c memuat parameter, bukan orbit.

Sejarah

Fatou dan Julia membangun teori iterasi fungsi rasional pada 1918–1920 [1, 2]. Brooks dan Matelski menghasilkan gambar komputer awal himpunan ini; makalahnya terbit pada 1981 [3]. Mandelbrot menerbitkan gambar komputer iterasi kuadrat kompleks pada 1980 [4], dan Douady serta Hubbard, yang membuktikan himpunan terhubung pada 1982, menamainya menurut Mandelbrot [5].

Konsep terkait

Himpunan Julia · Pemetaan logistik · Fraktal Newton (halaman direncanakan) · Bilangan kompleks

Referensi

1. G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
2. P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
3. R. Brooks, J. P. Matelski, “The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2, C)”, in Riemann Surfaces and Related Topics, Annals of Mathematics Studies 97 (1981) 65–71.
4. B. B. Mandelbrot, “Fractal aspects of the iteration of z → λz(1 − z) for complex λ and z”, Annals of the New York Academy of Sciences 357 (1980) 249–259. doi:10.1111/j.1749-6632.1980.tb29690.x
5. A. Douady, J. H. Hubbard, “Itération des polynômes quadratiques complexes”, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Série I 294 (1982) 123–126.

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Mandelbrot set (Bahasa Inggris); MacTutor: Sejarah Matematika: Benoit Mandelbrot (Bahasa Inggris).