Mandelbrot kümesi

Bu görselleştirmede Mandelbrot kümesi

Mandelbrot kümesi $M$, aşağıdaki dizinin sınırlı kaldığı $c$ karmaşık sayılarının kümesidir. $|z_n| > 2$ olur olmaz dizi sonsuza kaçar; bu nedenle $c$, tam olarak her $n$ için $|z_n| \le 2$ olduğunda $M$ kümesine aittir.

İki görsel ne gösteriyor?

c düzlemi, büyük görsel: her nokta, 0'dan başlayan dizinin 2 yarıçaplı diskten ne kadar çabuk çıktığına göre renklendirilmiş bir $c$ değeridir. Yumuşak renklendirme yalnızca gösterimdir. Siyah, “$N$ yineleme sınırı içinde kaçmadı” demektir: sayısal karar, $c$ kümenin içindedir kanıtı değil.

z düzlemi, küçük ekran: kırmızı nişangâh altındaki $c$ için her nokta bir $z_0$ başlangıç değeridir. Siyah, yörüngeleri sınırlı kalan başlangıçlar olan $K_c$ dolu Julia kümesini gösterir (kaçış yarıçapı $\max(2, |c|)$). Sarı noktalar 0'ın yörüngesidir: parametreler arasında değil, z düzlemindedir. Yörüngeyi başka yerden başlatmak için z düzleminde noktaya tıklayın.

Neden böyle görünüyor?

Kırmızı tuş, görünüme uygun seçilmiş artan $n$ değerleri için $L_n = \{c : |z_n| \le 2\}$ bölgelerini sırayla, $N$ değerine kadar gösterir. Her biri öncekinin içindedir ($L_1$, 2 yarıçaplı disk olurdu). $M$ hepsinin ortak kısmıdır.

Büyük kardiyoid, $z^2 + c$ için çekici sabit noktanın olduğu yerdir: $|\mu| < 1$ koşuluyla $c = \mu/2 - \mu^2/4$. Solundaki $|c + 1| < 1/4$ diski çekici 2 periyotlu döngünün olduğu yerdir. Kardiyoide doğrudan en sade $p/q$ kesrinde bağlı her çıkıntı, $q$ periyotlu çekici döngü içerir; anteni ana birleşimde $q$ kola ayrılır (çıkıntıya geri giden dahil).

Douady ve Hubbard 1982'de $M$ kümesinin bağlantılı olduğunu kanıtladı. Fatou ve Julia, $z^2 + c$ Julia kümesinin tam olarak 0'ın yörüngesi sınırlıyken bağlantılı olduğunu göstermişti. Böylece $M$, Julia kümesi tek parça olan $c$ değerlerinin de kümesidir; $M$ dışındaki $c$ için Julia kümesi toza ayrılır.

Yanlış yorumlamaya açık noktalar

• Siyah, “$N$ adımda kaçmadı” demektir. Sınıra yakın yerlerde daha büyük $N$, siyah pikselleri renkliye çevirebilir.
• Ayrı görünen adalar, görülemeyecek kadar ince ipliklerle ana gövdeye bağlıdır.
• Küçük kopyalar tam minyatür değildir: her biri bozulmuştur ve çevreleri farklıdır.
• Yörünge yalnızca z düzleminde çizilir; c düzlemi yörüngeyi değil, parametreyi içerir.

Tarihçe

Fatou ve Julia, rasyonel fonksiyonları yineleme kuramını 1918–1920'de kurdu [1, 2]. Brooks ve Matelski kümenin erken bir bilgisayar görselini üretti; makaleleri 1981'de yayımlandı [3]. Mandelbrot 1980'de karmaşık ikinci derece yinelemenin bilgisayar görsellerini yayımladı [4]. Kümenin bağlantılılığını 1982'de kanıtlayan Douady ve Hubbard ona Mandelbrot'un adını verdi [5].

İlgili kavramlar

Julia kümesi · Lojistik dönüşüm · Newton fraktalı (sayfa planlanıyor) · Karmaşık sayılar

Kaynaklar

1. G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
2. P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
3. R. Brooks, J. P. Matelski, “The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2, C)”, in Riemann Surfaces and Related Topics, Annals of Mathematics Studies 97 (1981) 65–71.
4. B. B. Mandelbrot, “Fractal aspects of the iteration of z → λz(1 − z) for complex λ and z”, Annals of the New York Academy of Sciences 357 (1980) 249–259. doi:10.1111/j.1749-6632.1980.tb29690.x
5. A. Douady, J. H. Hubbard, “Itération des polynômes quadratiques complexes”, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Série I 294 (1982) 123–126.

Ek okumalar: Vikipedi: Mandelbrot set (İngilizce); MacTutor Matematik Tarihi: Benoit Mandelbrot (İngilizce).