Множество Мандельброта: интерактивное исследование

Множество Мандельброта в этой визуализации

Множество Мандельброта $M$ — множество комплексных чисел $c$ , для которых последовательность ниже ограничена. Как только $|z_n| > 2$ , последовательность уходит на бесконечность, поэтому $c$ принадлежит $M$ тогда и только тогда, когда $|z_n| \le 2$ при каждом $n$ .

z_0 = 0,\qquad z_{n+1} = z_n^2 + c,\qquad M = \{\, c \in \mathbb{C} : |z_n| \le 2 \ \ \forall n \ge 0 \,\}

Что показывают два изображения

Плоскость c, большое изображение: каждая точка — значение $c$ , окрашенное по времени выхода последовательности из 0 за круг радиуса 2. Плавная окраска служит только отображению. Чёрный означает «не вышло за предел итераций $N$ » — численный вывод, а не доказательство принадлежности $c$ множеству.

Плоскость z, малый экран: для $c$ под красным прицелом каждая точка — начальное значение $z_0$ , а чёрным отмечено заполненное множество Жюлиа $K_c$ , начальные значения с ограниченными орбитами (радиус выхода $\max(2, |c|)$ ). Жёлтые точки — орбита 0: она живёт на плоскости z, а не среди параметров. Нажмите на точку плоскости z, чтобы начать орбиту там.

Почему изображение устроено так

Красная кнопка последовательно показывает области $L_n = \{c : |z_n| \le 2\}$ для возрастающих $n$ , подобранных под вид, до $N$ : каждая внутри предыдущей ( $L_1$ было бы кругом радиуса 2). $M$ — их общая часть.

Большая кардиоида — область, где у $z^2 + c$ есть притягивающая неподвижная точка: $c = \mu/2 - \mu^2/4$ при $|\mu| < 1$ . Диск слева, $|c + 1| < 1/4$ , — область притягивающего цикла периода 2. Каждый лепесток, непосредственно присоединённый к кардиоиде в дроби $p/q$ (несократимой), содержит притягивающий цикл периода $q$ , а его антенна в главном узле делится на $q$ лучей (включая ведущий назад к лепестку).

Дуади и Хаббард в 1982 году доказали связность $M$ . Фату и Жюлиа показали, что множество Жюлиа $z^2 + c$ связно ровно тогда, когда орбита 0 ограничена, поэтому $M$ — также множество $c$ , у которых множество Жюлиа связно; при $c$ вне $M$ оно распадается в пыль.

Что легко понять неверно

Чёрный означает «не вышло за $N$ шагов». Вблизи границы большее $N$ может сделать чёрные пиксели цветными.
Острова, кажущиеся отдельными, соединены с основной частью нитями, слишком тонкими, чтобы их увидеть.
Малые копии — не точные миниатюры: каждая искажена, и окрестности различаются.
Орбита рисуется только на плоскости z; плоскость c содержит параметр, а не орбиту.

История

Фату и Жюлиа построили теорию итераций рациональных функций в 1918–1920 годах [1, 2]. Брукс и Мательски получили одно из ранних компьютерных изображений множества; их статья вышла в 1981 году [3]. Мандельброт опубликовал компьютерные изображения комплексных квадратичных итераций в 1980 году [4], а Дуади и Хаббард, доказавшие связность множества в 1982 году, назвали его в его честь [5].

Связанные понятия

Множество Жюлиа · Логистическое отображение · Фрактал Ньютона (страница планируется) · Комплексные числа

Источники

G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
R. Brooks, J. P. Matelski, “The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2, C)”, in Riemann Surfaces and Related Topics, Annals of Mathematics Studies 97 (1981) 65–71.
B. B. Mandelbrot, “Fractal aspects of the iteration of z → λz(1 − z) for complex λ and z”, Annals of the New York Academy of Sciences 357 (1980) 249–259. doi:10.1111/j.1749-6632.1980.tb29690.x
A. Douady, J. H. Hubbard, “Itération des polynômes quadratiques complexes”, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Série I 294 (1982) 123–126.

Дополнительные материалы: Википедия: Mandelbrot set (Английский); Архив истории математики MacTutor: Benoit Mandelbrot (Английский).