Insieme di Mandelbrot

L’insieme di Mandelbrot in questa visualizzazione

L’insieme di Mandelbrot $M$ è l’insieme dei numeri complessi $c$ per cui la successione seguente resta limitata. Una volta che $|z_n| > 2$, la successione diverge all’infinito, quindi $c$ appartiene a $M$ esattamente quando $|z_n| \le 2$ per ogni $n$.

Cosa mostrano le due immagini

Il piano c, l’immagine grande: ogni punto è un valore di $c$, colorato in base a quanto presto la successione da 0 lascia il disco di raggio 2. La colorazione continua serve solo alla visualizzazione. Nero significa «nessuna fuga entro il limite di iterazioni $N$» — una conclusione numerica, non una dimostrazione che $c$ appartenga all’insieme.

Il piano z, lo schermo piccolo: per il $c$ sotto il mirino rosso, ogni punto è un valore iniziale $z_0$ e il nero indica l’insieme di Julia pieno $K_c$, i valori iniziali le cui orbite restano limitate (raggio di fuga $\max(2, |c|)$). I punti gialli sono l’orbita di 0: vive nel piano z, non tra i parametri. Fai clic in un punto del piano z per far partire da lì l’orbita.

Perché ha questa forma

Il tasto rosso mostra le regioni $L_n = \{c : |z_n| \le 2\}$ una dopo l’altra, per $n$ crescenti scelti in base alla vista, fino a $N$: ciascuna dentro la precedente ($L_1$ sarebbe il disco di raggio 2). $M$ è la parte comune a tutte.

La grande cardioide è dove $z^2 + c$ ha un punto fisso attrattivo: $c = \mu/2 - \mu^2/4$ con $|\mu| < 1$. Il disco alla sua sinistra, $|c + 1| < 1/4$, è dove ha un ciclo attrattivo di periodo 2. Ogni bulbo attaccato direttamente alla cardioide alla frazione $p/q$ (ridotta ai minimi termini) contiene un ciclo attrattivo di periodo $q$ e la sua antenna si divide in $q$ raggi nella giunzione principale (contando quello che torna al bulbo).

Douady e Hubbard dimostrarono nel 1982 che $M$ è connesso. Fatou e Julia avevano mostrato che l’insieme di Julia di $z^2 + c$ è connesso esattamente quando l’orbita di 0 è limitata, quindi $M$ è anche l’insieme dei $c$ il cui insieme di Julia è connesso; per $c$ fuori da $M$ si frantuma in polvere.

Possibili equivoci

• Nero significa «non è fuggito entro $N$ passi». Vicino al bordo, un $N$ maggiore può colorare pixel prima neri.
• Isole apparentemente separate sono unite al corpo principale da filamenti troppo sottili per essere visti.
• Le piccole copie non sono miniature esatte: ciascuna è deformata e i suoi dintorni sono diversi.
• L’orbita viene disegnata solo nel piano z; il piano c contiene il parametro, non l’orbita.

Storia

Fatou e Julia costruirono la teoria dell’iterazione delle funzioni razionali nel 1918–1920 [1, 2]. Brooks e Matelski produssero una delle prime immagini al computer dell’insieme; il loro articolo uscì nel 1981 [3]. Mandelbrot pubblicò immagini al computer dell’iterazione quadratica complessa nel 1980 [4] e Douady e Hubbard, che dimostrarono la connessione dell’insieme nel 1982, gli diedero il suo nome [5].

Concetti collegati

Insieme di Julia · Mappa logistica · Frattale di Newton (pagina in programma) · Numeri complessi

Riferimenti

1. G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
2. P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
3. R. Brooks, J. P. Matelski, “The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2, C)”, in Riemann Surfaces and Related Topics, Annals of Mathematics Studies 97 (1981) 65–71.
4. B. B. Mandelbrot, “Fractal aspects of the iteration of z → λz(1 − z) for complex λ and z”, Annals of the New York Academy of Sciences 357 (1980) 249–259. doi:10.1111/j.1749-6632.1980.tb29690.x
5. A. Douady, J. H. Hubbard, “Itération des polynômes quadratiques complexes”, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Série I 294 (1982) 123–126.

Per approfondire: Wikipedia: Mandelbrot set (Inglese); MacTutor History of Mathematics: Benoit Mandelbrot (Inglese).