Conjunto de Mandelbrot

El conjunto de Mandelbrot en esta visualización

El conjunto de Mandelbrot $M$ es el conjunto de números complejos $c$ para los que la sucesión siguiente permanece acotada. En cuanto $|z_n| > 2$, la sucesión escapa al infinito; por eso $c$ pertenece a $M$ exactamente cuando $|z_n| \le 2$ para todo $n$.

Qué muestran las dos imágenes

El plano c, la imagen grande: cada punto es un valor de $c$, coloreado según lo pronto que la sucesión desde 0 sale del disco de radio 2. El coloreado suave solo sirve para la representación. Negro significa «no escapa dentro del límite de iteraciones $N$», un dictamen numérico, no una demostración de que $c$ pertenezca al conjunto.

El plano z, la pantalla pequeña: para el $c$ bajo la mira roja, cada punto es un valor inicial $z_0$, y el negro marca el conjunto de Julia relleno $K_c$, los valores iniciales cuyas órbitas permanecen acotadas (radio de escape $\max(2, |c|)$). Los puntos amarillos son la órbita de 0: vive en el plano z, no entre los parámetros. Haz clic en un punto del plano z para empezar allí la órbita.

Por qué tiene este aspecto

La tecla roja muestra sucesivamente las regiones $L_n = \{c : |z_n| \le 2\}$, para valores crecientes de $n$ elegidos según la vista, hasta $N$: cada una dentro de la anterior ($L_1$ sería el disco de radio 2). $M$ es la parte que todas comparten.

La gran cardioide es donde $z^2 + c$ tiene un punto fijo atractor: $c = \mu/2 - \mu^2/4$ con $|\mu| < 1$. El disco a su izquierda, $|c + 1| < 1/4$, es donde tiene un ciclo atractor de periodo 2. Cada bulbo unido directamente a la cardioide en la fracción $p/q$ (irreducible) contiene un ciclo atractor de periodo $q$, y su antena se divide en $q$ brazos en su unión principal (contando el que regresa al bulbo).

Douady y Hubbard demostraron en 1982 que $M$ es conexo. Fatou y Julia habían mostrado que el conjunto de Julia de $z^2 + c$ es conexo exactamente cuando la órbita de 0 está acotada; así, $M$ es también el conjunto de $c$ cuyo conjunto de Julia es una sola pieza; para $c$ fuera de $M$, se descompone en polvo.

Posibles confusiones

• Negro significa «no escapó en $N$ pasos». Cerca de la frontera, un $N$ mayor puede convertir píxeles negros en colores.
• Las islas que parecen separadas están unidas al cuerpo principal por filamentos demasiado finos para verlos.
• Las copias pequeñas no son miniaturas exactas: cada una está deformada y su entorno es distinto.
• La órbita solo se dibuja en el plano z; el plano c contiene el parámetro, no la órbita.

Historia

Fatou y Julia construyeron la teoría de iteración de funciones racionales en 1918–1920 [1, 2]. Brooks y Matelski produjeron una de las primeras imágenes por ordenador del conjunto; su artículo apareció en 1981 [3]. Mandelbrot publicó imágenes por ordenador de la iteración cuadrática compleja en 1980 [4], y Douady y Hubbard, que demostraron en 1982 que el conjunto es conexo, lo nombraron en su honor [5].

Conceptos relacionados

Conjunto de Julia · Aplicación logística · Fractal de Newton (página prevista) · Números complejos

Referencias

1. G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
2. P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
3. R. Brooks, J. P. Matelski, “The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2, C)”, in Riemann Surfaces and Related Topics, Annals of Mathematics Studies 97 (1981) 65–71.
4. B. B. Mandelbrot, “Fractal aspects of the iteration of z → λz(1 − z) for complex λ and z”, Annals of the New York Academy of Sciences 357 (1980) 249–259. doi:10.1111/j.1749-6632.1980.tb29690.x
5. A. Douady, J. H. Hubbard, “Itération des polynômes quadratiques complexes”, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Série I 294 (1982) 123–126.

Para saber más: Wikipedia: Mandelbrot set (Inglés); MacTutor: historia de las matemáticas: Benoit Mandelbrot (Inglés).