Math

Dynamique complexe · z → z² + c

Ensemble de Mandelbrot

L’ensemble de Mandelbrot est l’ensemble des nombres complexes c pour lesquels l’itération z → z² + c, à partir de z = 0, ne s’échappe jamais vers l’infini.

L’ensemble de Mandelbrot dans cette visualisation

L’ensemble de Mandelbrot MM est l’ensemble des nombres complexes cc pour lesquels la suite ci-dessous reste bornée. Dès que ∣zn∣>2|z_n| > 2, la suite s’échappe à l’infini ; cc appartient donc à MM exactement lorsque ∣zn∣≤2|z_n| \le 2 pour tout nn.

z0=0,zn+1=zn2+c,M={ c∈C:∣zn∣≤2  ∀n≥0 }z_0 = 0,\qquad z_{n+1} = z_n^2 + c,\qquad M = \{\, c \in \mathbb{C} : |z_n| \le 2 \ \ \forall n \ge 0 \,\}

Ce que montrent les deux images

Le plan des c, la grande image : chaque point est une valeur de cc, colorée selon la rapidité avec laquelle la suite issue de 0 quitte le disque de rayon 2. Le coloriage continu ne sert qu’à l’affichage. Le noir signifie « aucun échappement dans la limite de NN itérations » — un verdict numérique, pas une preuve que cc appartient à l’ensemble.

Le plan des z, le petit écran : pour le cc sous le réticule rouge, chaque point est une valeur initiale z0z_0, et le noir marque l’ensemble de Julia rempli KcK_c, les valeurs initiales dont les orbites restent bornées (rayon d’échappement max⁡(2,∣c∣)\max(2, |c|)). Les points jaunes sont l’orbite de 0 : elle évolue dans le plan des z, pas parmi les paramètres. Cliquez sur un point du plan des z pour y faire commencer l’orbite.

Pourquoi cette forme

La touche rouge montre successivement les régions Ln={c:∣zn∣≤2}L_n = \{c : |z_n| \le 2\}, pour des nn croissants adaptés à la vue, jusqu’à NN : chacune est contenue dans la précédente (L1L_1 serait le disque de rayon 2). MM est leur partie commune.

La grande cardioïde est la région où z2+cz^2 + c possède un point fixe attractif : c=μ/2−μ2/4c = \mu/2 - \mu^2/4 avec ∣μ∣<1|\mu| < 1. Le disque à sa gauche, ∣c+1∣<1/4|c + 1| < 1/4, est la région où il possède un cycle attractif de période 2. Chaque bulbe directement attaché à la cardioïde à la fraction p/qp/q (irréductible) contient un cycle attractif de période qq, et son antenne se divise en qq branches à sa jonction principale (en comptant celle qui revient au bulbe).

Douady et Hubbard ont démontré en 1982 que MM est connexe. Fatou et Julia avaient montré que l’ensemble de Julia de z2+cz^2 + c est connexe exactement lorsque l’orbite de 0 est bornée ; MM est donc aussi l’ensemble des cc dont l’ensemble de Julia est d’un seul tenant ; pour cc extérieur à MM, il se désagrège en poussière.

À ne pas confondre

Histoire

Fatou et Julia ont construit la théorie de l’itération des fonctions rationnelles en 1918–1920 [1, 2]. Brooks et Matelski ont produit l’une des premières images informatiques de l’ensemble ; leur article est paru en 1981 [3]. Mandelbrot a publié des images informatiques de l’itération quadratique complexe en 1980 [4], et Douady et Hubbard, qui ont prouvé la connexité de l’ensemble en 1982, lui ont donné son nom [5].

Concepts associés

Ensemble de Julia · Suite logistique · Fractale de Newton (page prévue) · Nombres complexes

Références

  1. G. Julia, “Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, série 8, 1 (1918) 47–245.
  2. P. Fatou, “Sur les équations fonctionnelles”, Bulletin de la Société Mathématique de France 47 (1919) 161–271; 48 (1920) 33–94, 208–314.
  3. R. Brooks, J. P. Matelski, “The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2, C)”, in Riemann Surfaces and Related Topics, Annals of Mathematics Studies 97 (1981) 65–71.
  4. B. B. Mandelbrot, “Fractal aspects of the iteration of z → λz(1 − z) for complex λ and z”, Annals of the New York Academy of Sciences 357 (1980) 249–259. doi:10.1111/j.1749-6632.1980.tb29690.x
  5. A. Douady, J. H. Hubbard, “Itération des polynômes quadratiques complexes”, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Série I 294 (1982) 123–126.

Pour aller plus loin: Wikipédia: Mandelbrot set (Anglais); MacTutor History of Mathematics: Benoit Mandelbrot (Anglais).