Комплексная плоскость

Комплексная плоскость (также диаграмма Аргана или плоскость Гаусса) изображает комплексное число $a + bi$ точкой $(a, b)$: действительная часть — по горизонтали, мнимая — вверх. Расстояние от 0 — модуль $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, а направление — аргумент $\arg z$, угол от положительной действительной полуоси; страница показывает его главное значение из $(-180^\circ, 180^\circ]$, а в 0 оно не определено. Отсюда $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$, полярная форма. Страница показывает действие сложения, умножения и повторного умножения на число $w$ на всю плоскость.

Умножение на $w$ переводит 1 в $w$, а $i$ — в $iw$, то есть в $w$, повёрнутое на 90°. Бледная единичная сетка переходит в жёлтую сетку, натянутую на $w$ и $iw$: вся плоскость поворачивается на $\arg w$ вокруг 0 и растягивается в $|w|$ раз, поэтому полученная сетка всегда квадратная. Точка z = $a + bi$ сохраняет адрес в сетке, поэтому $zw = a\cdot w + b\cdot(iw)$ — Разложение по компонентам рисует оба пути. При $w = c + di$ имеем $iw = -d + ci$: поворот $w$ на четверть оборота переводит мнимую часть $d$ на отрицательную действительную полуось — это и есть $-bd$ в формуле, след $i^2 = -1$. Треугольники 0–1–$z$ и 0–$w$–$zw$ подобны (при $w \ne 0$), поэтому длины перемножаются, а углы складываются; сумму больше 180° уменьшают на 360°. Умножение на 0 переводит все точки в 0. Деление на $w \ne 0$ отменяет всё это: обратный поворот на $\arg w$ и сжатие в $|w|$ раз.

Добавить сдвигает всю плоскость на $w$ (параллелограмм 0, $z$, $w$, $z + w$), а $|z + w| \le |z| + |w|$, причём равенство выполняется только при одинаковом направлении $z$ и $w$ или когда один из них нулевой. Повторить отмечает $z, zw, zw^2, \dots$: каждый шаг поворачивает на $\arg w$ и растягивает в $|w|$ раз, поэтому точки лежат на равноугольной спирали. При $|w| = 1$ и $\arg w$, равном доле $p/q$ оборота, они возвращаются через $q$ шагов (при старте из 1 это корни $q$-й степени из единицы); при $w = e^{i\cdot 1}$ они никогда не возвращаются, поскольку $1/2\pi$ иррационально.