Plano complexo

O plano complexo (também diagrama de Argand ou plano de Gauss) representa o número complexo $a + bi$ pelo ponto $(a, b)$: a parte real na horizontal e a parte imaginária na vertical. A distância a 0 é o módulo $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, e a direção é o argumento $\arg z$, o ângulo a partir do semieixo real positivo; a página apresenta o seu valor principal, em $(-180^\circ, 180^\circ]$, e nenhum em 0. Assim, $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$, a forma polar. A página mostra o efeito de adicionar, multiplicar e multiplicar repetidamente por um número $w$ em todo o plano.

Multiplicar por $w$ leva 1 a $w$ e $i$ a $iw$, que é $w$ rodado 90°. A grelha unitária ténue transforma-se na grelha amarela gerada por $w$ e $iw$: todo o plano roda de $\arg w$ em torno de 0 e os comprimentos são multiplicados por $|w|$, pelo que a grelha imagem continua quadrada. Um ponto z = $a + bi$ mantém as suas coordenadas na grelha, logo $zw = a\cdot w + b\cdot(iw)$ — Decomposição em componentes desenha os dois percursos. Com $w = c + di$, $iw = -d + ci$: rodar $w$ um quarto de volta leva a sua parte imaginária $d$ para o semieixo real negativo; daí surge $-bd$ na fórmula, o efeito de $i^2 = -1$. Os triângulos 0–1–$z$ e 0–$w$–$zw$ são semelhantes (para $w \ne 0$), razão pela qual os comprimentos se multiplicam e os ângulos se somam; se a soma ultrapassar 180°, subtraem-se 360°. Multiplicar por 0 leva todos os pontos a 0. Dividir por $w \ne 0$ desfaz tudo: rodar no sentido contrário de $\arg w$ e dividir os comprimentos por $|w|$.

Adicionar translada todo o plano de $w$ (o paralelogramo 0, $z$, $w$, $z + w$), e $|z + w| \le |z| + |w|$, com igualdade apenas quando $z$ e $w$ apontam no mesmo sentido ou um deles é zero. Repetir assinala $z, zw, zw^2, \dots$: cada passo roda de $\arg w$ e multiplica os comprimentos por $|w|$, pelo que os pontos ficam numa espiral equiangular. Com $|w| = 1$ e $\arg w$ igual a uma fração $p/q$ de volta, regressam após $q$ passos (partindo de 1: as raízes de ordem $q$ da unidade); com $w = e^{i\cdot 1}$, nunca regressam, pois $1/2\pi$ é irracional.