Karmaşık düzlem

Karmaşık düzlem (Argand diyagramı veya Gauss düzlemi), $a + bi$ karmaşık sayısını $(a, b)$ noktası olarak çizer: gerçek kısım yatayda, sanal kısım düşeyde. 0'a uzaklığı modülü $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, yönü ise pozitif gerçek eksenden ölçülen açı olan argümanı $\arg z$ olur. Sayfa argümanın $(-180^\circ, 180^\circ]$ aralığındaki esas değerini verir; 0'da argüman vermez. Böylece kutupsal biçim $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ elde edilir. Sayfa bir $w$ sayısını toplamanın, onunla çarpmanın ve tekrar tekrar çarpmanın tüm düzleme etkisini gösterir.

$w$ ile çarpmak 1'i $w$ noktasına, $i$ noktasını ise $w$ vektörünün 90° döndürülmüş hali olan $iw$ noktasına götürür. Soluk birim ızgara, $w$ ve $iw$ tarafından gerilen sarı ızgaraya taşınır: tüm düzlem 0 çevresinde $\arg w$ kadar döner ve $|w|$ kat ölçeklenir; bu yüzden görüntü ızgarası daima karedir. z = $a + bi$ noktası ızgara adresini korur; böylece $zw = a\cdot w + b\cdot(iw)$ olur. Bileşenlerine ayır iki yürüyüşü de çizer. $w = c + di$ için $iw = -d + ci$ olur: $w$ çeyrek tur döndürülünce $d$ sanal kısmı negatif gerçek eksene taşınır. Formüldeki $-bd$ budur; $i^2 = -1$ izidir. 0–1–$z$ ve 0–$w$–$zw$ üçgenleri benzerdir ($w \ne 0$ için); bu nedenle uzunluklar çarpılır ve açılar toplanır. 180°'yi aşan toplam 360° çıkarılarak geri getirilir. 0 ile çarpmak her noktayı 0'a götürür. $w \ne 0$ ile bölmek hepsini geri alır: $\arg w$ kadar tersine döndürür ve $|w|$ kat küçültür.

Ekle, tüm düzlemi $w$ kadar öteler (0, $z$, $w$, $z + w$ paralelkenarı) ve $|z + w| \le |z| + |w|$ olur; eşitlik yalnızca $z$ ile $w$ aynı yönü gösterdiğinde veya biri sıfır olduğunda sağlanır. Tekrarla, $z, zw, zw^2, \dots$ noktalarını işaretler: her adım $\arg w$ kadar döndürür ve $|w|$ kat ölçekler; bu yüzden noktalar eş açılı bir spiral üzerinde bulunur. $|w| = 1$ ve bir turun $p/q$ kesri olan $\arg w$ için $q$ adım sonra geri dönerler (1'den başlayınca birimin $q$. kökleri). $w = e^{i\cdot 1}$ için asla dönmezler, çünkü $1/2\pi$ irrasyoneldir.