複數平面

複數平面（也稱阿爾岡圖或高斯平面）把複數 $a + bi$ 畫成點 $(a, b)$：實部水平，虛部鉛直。它到 0 的距離是模 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，方向則是幅角 $\arg z$，也就是從正實軸量起的角度；本頁給出位於 $(-180^\circ, 180^\circ]$ 的主值，0 處則沒有幅角。因此 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$，這是極式。本頁呈現加上一個數 $w$、乘以它，以及反覆相乘，如何改變整個平面。

乘以 $w$ 會把 1 送到 $w$，把 $i$ 送到 $iw$，後者就是 $w$ 旋轉 90°。淡色單位網格被帶到由 $w$ 與 $iw$ 張成的黃色網格：整個平面繞 0 旋轉 $\arg w$，並以 $|w|$ 倍伸縮，所以像的網格始終是正方形。z 點 = $a + bi$ 保留原本的網格座標，因此 $zw = a\cdot w + b\cdot(iw)$ — 分量拆解會畫出兩條走法。令 $w = c + di$，則 $iw = -d + ci$：把 $w$ 轉四分之一圈，會將虛部 $d$ 移到負實軸，這就是公式中的 $-bd$，是 $i^2 = -1$ 留下的痕跡。三角形 0–1–$z$ 與 0–$w$–$zw$ 相似（當 $w \ne 0$），所以長度相乘、角度相加；角度和超過 180° 時會減去 360°。乘以 0 將每個點送到 0。除以 $w \ne 0$ 則反過來：轉回 $\arg w$，並按 $|w|$ 的因子縮小。

相加將整個平面平移 $w$（平行四邊形 0、$z$、$w$、$z + w$），且 $|z + w| \le |z| + |w|$，只有 $z$ 與 $w$ 同向或其中一個為零時取等號。重複標出 $z, zw, zw^2, \dots$：每一步旋轉 $\arg w$，並以 $|w|$ 倍伸縮，因此各點位於等角螺旋上。當 $|w| = 1$，而 $\arg w$ 是一圈的分數 $p/q$ 時，$q$ 步後便回到原處（從 1 出發：1 的 $q$ 次方根）；若為 $w = e^{i\cdot 1}$，則永遠不會，因為 $1/2\pi$ 是無理數。