Série de Taylor: visualização interativa

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Séries de Taylor nesta visualização

A série de Taylor (desenvolvimento de Taylor) de uma função $f$ num ponto $a$ é a série de potências construída a partir das suas derivadas nesse ponto; em $a = 0$ , também se chama série de Maclaurin. O centro também se escreve $x_0$ . A sua soma parcial de grau $n$ é o polinómio de Taylor $P_n$ , o único polinómio de grau não superior a $n$ cujo valor e primeiras $n$ derivadas em $a$ coincidem com os de $f$ :

Polinómio de Taylor

P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k.

A curva em cor de tinta é $f$ , a curva amarela é $P_n$ e o ponto azul marca o centro $a$ . A barra amarela no eixo $x$ é uma medição: o maior intervalo $|x - a| < r$ em que $|f(x) - P_n(x)| < 0.01$ , encontrado verificando pontos espaçados de 0.0025 de ambos os lados de $a$ , refinando o primeiro incumprimento e arredondando por defeito. As marcas azuis estão em $a \pm R$ , onde R é o raio de convergência: a série converge para $|x - a| < R$ e diverge para $|x - a| > R$ . Para as sete funções desta página, a soma dentro desse intervalo é a própria $f$ , e $R$ é a distância de $a$ ao ponto singular mais próximo de $f$ , incluindo os pontos complexos.

A diferença entre $P_n$ e $f$ num dado $x$ é medida pelo resto. Se $f$ tiver $n + 1$ derivadas em todo o intervalo entre $a$ e $x$ (esse intervalo não pode, portanto, atravessar uma singularidade, como o polo de $1/(1 - x)$ em 1), então

Resto (forma de Lagrange)

f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,(x-a)^{n+1}\quad\text{para algum } \xi \text{ entre } a \text{ e } x\text{.}

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O que observar

Dentro do raio, as somas parciais convergem aqui para $f$ , pelo que, em cada um desses $x$ , o erro tende para 0 quando $n$ cresce, embora não diminua necessariamente em todos os passos. Fora dele, os termos não tendem para 0 e $P_n(x)$ não se estabiliza. A barra apenas se aproxima de $R$ : é medida no ecrã, enquanto $R$ vem da fórmula.
Uma função pode ser suave em toda a reta real e, mesmo assim, ter um raio finito. $1/(1 + x^2)$ não está definida nos pontos complexos $\pm i$ , pelo que a sua série em torno de $a$ só converge para $|x - a| < \sqrt{1 + a^2}$ .
Nos extremos do intervalo, tudo pode acontecer: a série de $\ln(1 + x)$ em 0 converge em $x = 1$ (para $\ln 2$ ), mas não em $x = -1$ ; a de $1/(1 - x)$ não converge em nenhum extremo, e a de $\sqrt{1 + x}$ converge em ambos.
Em $a = 0$ , $\sin x$ só tem potências ímpares e $\cos x$ só tem potências pares; por isso, $P_{2m}$ e $P_{2m-1}$ do seno são o mesmo polinómio. n → ∞ salta esses termos nulos, para que cada passo altere a curva.
A convergência, por si só, não garante que a soma seja $f$ . A função que vale $e^{-1/x^2}$ para $x \ne 0$ e 0 em 0 tem todas as derivadas nulas em 0, pelo que a sua série de Taylor nesse ponto vale 0 para todo o $x$ .

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Aplicações

A física retém os primeiros termos perto de um ponto: $\sin\theta \approx \theta$ para pequenas oscilações de um pêndulo, e $(1 - v^2/c^2)^{-1/2} \approx 1 + v^2/(2c^2)$ transforma a energia cinética relativista em $\tfrac12 mv^2$ a baixas velocidades.
O resto indica quantos termos são necessários num cálculo: somar $1/k!$ de $k = 0$ a $10$ , que é $P_{10}(1)$ para $e^x$ , já dá $e$ com erro inferior a $3 \times 10^{-8}$ .

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Controlos

Rode o botão Grau ou prima n → ∞ para adicionar o termo não nulo seguinte, um de cada vez, até $n = 30$ (premir novamente no máximo reinicia a partir de 0). Arraste o ponto azul ou o marcador no eixo para mover o centro; os centros de referência saltam para valores exatos.
A faixa por baixo do gráfico mostra $|f - P_n|$ numa escala logarítmica ao longo do gráfico. O modo de apresentação abre uma vista em ecrã inteiro para projetores (Espaço adiciona termos, ← → alteram o grau e H oculta o raio).

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Relacionados

D05Derivada
D07Aproximação linear
D34SériesPrevisto
A15Plano complexo

Para saber mais: Wikipédia: Taylor series (Inglês); OpenStax, Calculus Volume 2, 6.3 Taylor and Maclaurin Series (Inglês).