Derivada: visualização interativa

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A derivada nesta visualização

A derivada de uma função $f$ num ponto $a$ , escrita $f'(a)$ ou $\frac{df}{dx}$ em $x = a$ , é o declive da reta tangente ao gráfico nesse ponto: a taxa de variação instantânea de $f$ . Define-se como um limite de declives de retas secantes. Esta página constrói esse limite em curvas suaves, pontos angulosos, cúspides, tangentes verticais e saltos, e num gráfico posição–tempo.

O ponto azul P está na curva em $x = a$ e o ponto vermelho Q em $x = a + h$ . A reta amarela que passa pelos dois é uma reta secante; o seu declive é a razão incremental

Razão incremental

\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{\Delta y}{\Delta x}.

A reta tangente em P tem declive igual à derivada, quando este limite existe e é finito:

Derivada

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

À medida que Q se aproxima de P, a secante tende para a tangente e o seu declive aproxima-se de $f'(a)$ . O limite tem de ser o mesmo, quer Q venha da esquerda, quer da direita. A página nunca deixa $h$ chegar a 0, onde o quociente seria $0/0$ . Usando $x_0$ em vez de $a$ e $\Delta x$ em vez de $h$ , a derivada também se escreve $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ .

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O que observar

Em $x^2$ , $x^3 - 3x$ , $\sin x$ e $e^x$ , os declives pelos dois lados tendem para o mesmo número.
$|x|$ em 0: os dois lados tendem para $-1$ e $+1$ . Num ponto anguloso não existe derivada, embora a função seja aí contínua.
$x^{2/3}$ em 0: $-\infty$ e $+\infty$ , uma cúspide.
$\sqrt[3]{x}$ em 0: os declives pelos dois lados crescem sem limite. A tangente é vertical, pelo que não existe derivada finita.
O exemplo com salto em 1: uma função que não é contínua não pode ser diferenciável.

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Aplicações

A velocidade é a derivada da posição, como no modo Movimento da página. Em geral, a derivada é a taxa de variação de uma grandeza: o custo marginal em economia, uma velocidade de reação em química ou uma taxa de crescimento em biologia.
Perto de $a$ , a reta tangente dá a melhor aproximação por uma reta, $f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h$ . O método de Newton para resolver equações segue retas tangentes como esta.
Num máximo ou mínimo no interior de um intervalo, uma função diferenciável tem $f' = 0$ : é assim que o cálculo encontra o melhor valor.

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Controlos

Arraste Q, ou use o cursor deslizante |h| ou o botão h → 0 no painel, para alterar $h$ . Esquerda / Direita define o sinal.
Arraste P ou rode o seletor Ponto para mover $a$ . Arraste o fundo para deslocar a vista; use + e − para ampliar e reduzir.
Comparar e registar abre uma janela que representa o declive da secante em função de $h$ pelos dois lados e recolhe os valores obtidos durante a aproximação. Os valores continuam a ser recolhidos com a janela fechada.
Movimento transforma a curva numa posição $s(t)$ : o declive da secante passa a ser uma velocidade média, e a derivada, a velocidade instantânea $v(t) = s'(t)$ .
O Modo de apresentação abre uma vista em ecrã inteiro para projetores, com letras grandes e controlo por teclado (Espaço executa h → 0, Page Up / Page Down percorrem as vistas em destaque, H oculta a derivada).

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Relacionados

D06Função derivada
D07Aproximação linear
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D01Limite

Para saber mais: Wikipédia: Derivative (Inglês); OpenStax, Calculus Volume 1, 3.1 Defining the Derivative (Inglês).