테일러 급수

이 시각화의 테일러 급수

살펴볼 점

• 여기서는 반지름 안에서 부분합이 $f$으로 수렴하므로, 그 안의 각 $x$에서 $n$가 커질수록 오차가 0으로 갑니다. 다만 매 단계 줄어드는 것은 아닙니다. 반지름 밖에서는 각 항이 0으로 가지 않고 $P_n(x)$도 안정되지 않습니다. 막대는 $R$에 가까워질 뿐입니다. 막대는 화면에서 측정하지만 $R$는 공식에서 얻습니다.
• 함수는 실수 전체에서 매끄러워도 수렴반경이 유한할 수 있습니다. $1/(1 + x^2)$은 복소수 점 $\pm i$에서 정의되지 않으므로 $a$에서 전개한 급수는 $|x - a| < \sqrt{1 + a^2}$에서만 수렴합니다.
• 구간 끝점에서는 여러 경우가 가능합니다. $\ln(1 + x)$의 0에서의 급수는 $x = 1$에서 $\ln 2$로 수렴하지만 $x = -1$에서는 수렴하지 않습니다. $1/(1 - x)$의 급수는 양 끝점 모두에서 수렴하지 않고, $\sqrt{1 + x}$의 급수는 양쪽 모두에서 수렴합니다.
• $a = 0$에서 $\sin x$에는 홀수 차수만, $\cos x$에는 짝수 차수만 있으므로 사인 함수의 $P_{2m}$과 $P_{2m-1}$는 같은 다항식입니다. n → ∞은 이런 0인 항을 건너뛰어 매 단계 곡선이 달라지게 합니다.
• 급수가 수렴한다고 합이 $f$과 같아지는 것은 아닙니다. $x \ne 0$에서 $e^{-1/x^2}$, 0에서는 0인 함수는 0에서 모든 차수의 도함수가 0입니다. 따라서 그곳의 테일러 급수는 모든 $x$에 대해 0입니다.

어디에 쓰일까요?

• 물리에서는 한 점 근처의 처음 몇 항을 사용합니다. 진자의 작은 진동에는 $\sin\theta \approx \theta$을 쓰고, $(1 - v^2/c^2)^{-1/2} \approx 1 + v^2/(2c^2)$은 낮은 속도에서 상대론적 운동에너지를 $\tfrac12 mv^2$로 바꿔 줍니다.
• 나머지항은 계산에 몇 항이 필요한지 알려 줍니다. $1/k!$을 $k = 0$부터 $10$까지 더한 값, 즉 함수 $e^x$의 $P_{10}(1)$만으로도 $e$를 오차 $3 \times 10^{-8}$ 이내로 구합니다.

조작 방법

• 차수 노브를 돌리거나 n → ∞을 눌러 다음 0이 아닌 항을 하나씩 $n = 30$까지 추가하세요(최댓값에서 다시 누르면 0부터 재생합니다). 파란 점이나 축의 표시를 드래그하면 중심이 움직이며, 주요 중심점 버튼은 정확한 값으로 이동합니다.
• 그래프 아래 띠는 그래프 전체 범위의 $|f - P_n|$을 로그 눈금으로 보여 줍니다. 발표 모드는 프로젝터용 전체 화면을 엽니다(스페이스: 항 추가, ← →: 차수 변경, H: 반지름 숨기기).

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