Deret Taylor: Visualisasi Interaktif

01

Deret Taylor dalam visualisasi ini

Deret Taylor (ekspansi Taylor) fungsi $f$ di titik $a$ adalah deret pangkat yang dibangun dari turunannya di sana; pada $a = 0$ juga disebut deret Maclaurin. Pusatnya juga ditulis $x_0$ . Jumlah parsial berderajat $n$ adalah polinom Taylor $P_n$ , satu-satunya polinom berderajat paling tinggi $n$ yang nilai dan $n$ turunan pertamanya di $a$ sama dengan milik $f$ :

Polinom Taylor

P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k.

Kurva tinta adalah $f$ , kurva kuning $P_n$ , dan titik biru menandai pusat $a$ . Batang kuning pada sumbu $x$ adalah pengukuran: interval terlebar $|x - a| < r$ tempat $|f(x) - P_n(x)| < 0.01$ , dicari dengan memeriksa titik berjarak 0.0025 di kedua sisi $a$ dan memperhalus kegagalan pertama, lalu ditampilkan dibulatkan ke bawah. Kurung biru berada di $a \pm R$ , dengan R jari-jari konvergensi: deret konvergen untuk $|x - a| < R$ dan divergen untuk $|x - a| > R$ . Untuk tujuh fungsi di sini, jumlah di dalam interval itu adalah $f$ sendiri, dan $R$ adalah jarak dari $a$ ke titik terdekat tempat $f$ memiliki singularitas, termasuk titik kompleks.

Seberapa jauh $P_n$ dari $f$ pada $x$ tertentu diukur oleh sisa. Jika $f$ memiliki $n + 1$ turunan pada seluruh interval antara $a$ dan $x$ (jadi interval itu tidak boleh melintasi singularitas, seperti kutub $1/(1 - x)$ di 1), maka

Sisa (bentuk Lagrange)

f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,(x-a)^{n+1}\quad\text{untuk suatu } \xi \text{ di antara } a \text{ dan } x\text{.}

02

Hal yang perlu diperhatikan

Di dalam jari-jari, jumlah parsial di sini konvergen ke $f$ , jadi pada setiap $x$ demikian, galat menuju 0 saat $n$ bertambah, meskipun tidak harus pada setiap langkah. Di luarnya, suku tidak menuju 0 dan $P_n(x)$ tidak menuju nilai tetap. Batang hanya mendekati $R$ : diukur pada layar, sementara $R$ berasal dari rumus.
Fungsi dapat mulus pada seluruh garis real tetapi tetap memiliki jari-jari berhingga. $1/(1 + x^2)$ tidak terdefinisi pada titik kompleks $\pm i$ , sehingga deretnya di sekitar $a$ konvergen hanya untuk $|x - a| < \sqrt{1 + a^2}$ .
Di ujung interval, apa saja dapat terjadi: deret $\ln(1 + x)$ di 0 konvergen pada $x = 1$ (ke $\ln 2$ ) tetapi tidak pada $x = -1$ ; deret $1/(1 - x)$ tidak konvergen di kedua ujung, deret $\sqrt{1 + x}$ konvergen di keduanya.
Pada $a = 0$ , $\sin x$ hanya memiliki pangkat ganjil dan $\cos x$ hanya pangkat genap, sehingga $P_{2m}$ dan $P_{2m-1}$ untuk sinus adalah polinom yang sama. n → ∞ melewati suku nol demikian, sehingga tiap langkah mengubah kurva.
Konvergensi saja tidak membuat jumlahnya sama dengan $f$ . Fungsi yang sama dengan $e^{-1/x^2}$ untuk $x \ne 0$ dan 0 di 0 memiliki semua turunan 0 di 0, sehingga deret Taylornya di sana 0 untuk semua $x$ .

03

Penerapannya

Fisika mempertahankan suku-suku awal di dekat suatu titik: $\sin\theta \approx \theta$ untuk ayunan kecil bandul, dan $(1 - v^2/c^2)^{-1/2} \approx 1 + v^2/(2c^2)$ mengubah energi kinetik relativistik menjadi $\tfrac12 mv^2$ pada kelajuan rendah.
Sisa menentukan berapa banyak suku yang diperlukan perhitungan: menjumlahkan $1/k!$ dari $k = 0$ sampai $10$ , yaitu $P_{10}(1)$ untuk $e^x$ , sudah memberi $e$ dengan galat kurang dari $3 \times 10^{-8}$ .

04

Kontrol

Putar kenop Derajat, atau tekan n → ∞ untuk menambahkan suku tak nol berikutnya satu per satu, hingga $n = 30$ (menekan lagi di puncak memutar ulang dari 0). Seret titik biru atau penanda sumbu untuk menggeser pusat; pusat penting langsung memilih nilai eksak.
Pita di bawah grafik menampilkan $|f - P_n|$ pada skala logaritmik sepanjang grafik. Mode presentasi membuka tampilan layar penuh untuk proyektor (Spasi menambah suku, ← → mengubah derajat, H menyembunyikan jari-jari).

05

Terkait

D05Turunan
D07Pendekatan linear
D34DeretDirencanakan
A15Bidang kompleks

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Taylor series (Bahasa Inggris); OpenStax, Calculus Volume 2, 6.3 Taylor and Maclaurin Series (Bahasa Inggris).