這個視覺化中的極限
若只要讓 x 充分接近 a，就能使 f 的值依要求任意接近 L，而完全不看 x = a 本身，就說函數 在點 a 的極限是 L，記為 。其精確形式是 ε–δ 定義（Cauchy 與 Weierstrass）：以 ε 提出要求，以 δ 回應。
圖中，要求是以藍線 y = L 為中心、半寬為 ε 的紅色範圍帶；由於是不含等號的不等式，虛線邊緣不包含在內。回應則是以 a 為中心、半寬為 δ 的黃色視窗，在 a 處留有空隙：條件 排除了 x = a，所以那裡有孔洞，或 f(a) 另定義在其他高度，都不影響結果。視窗內的曲線全都留在範圍帶內，視窗就有效；否則，黃色 × 會標出一個超出的點。單側極限（x → a⁻ 或 a⁺）只用半個視窗。極限若存在，就是唯一的：兩個不同值不可能同時符合任意窄的範圍帶。
本頁顯示兩種 δ。保證成立的 δ 來自對視窗內每個 x 都成立的不等式，因此構成證明：對 x²、孔洞、跳躍、sin(1/x) 與 1/x²，最大的 δ 有閉式公式，本身就是保證值；對 x·sin(1/x)，界限 在 0 處給出 δ = ε；對 sin x / x，界限 給出 。後兩種函數的最大 δ 以數值計算：逐段追蹤轉折點之間的曲線，並用二分法找出曲線與範圍帶邊緣的每個交點。任何更小的 δ 也可行；δ 從來不唯一。
值得觀察的地方
- ε → 0 每次把範圍帶縮窄至十分之一，直到 10⁻⁶，並記錄每一層的 δ；同時，放大鏡在水平與垂直方向以不同倍率放大（標題列出兩個倍率）。它只檢查顯示的層級，沒有更多：若猜測誤差小於 10⁻⁶，仍可能全部通過。
- 同一個檢驗有三種失敗方式：跳躍（左右極限不同）、無盡振盪（sin(1/x) 在 0 周圍每個區間都取到 1 與 −1），以及猜錯極限（x² 在 2 處若猜 L = 4.1，ε ≤ 0.1 就無法通過）。光有振盪還不夠：x·sin(1/x) 同樣不斷振盪，卻仍以 0 為極限。極限是否存在也取決於位置：sin(1/x) 在每個 a ≠ 0 處都有極限。1/x² 在 0 處沒有有限極限；本頁不討論無窮遠處的極限。
- 輸入的小數或分數都以精確值讀取，因此「是否有可行的 δ」「是否碰到邊緣」等判斷都是精確的：當 L = 4.1、ε = 0.1 時，|4 − L| 恰好等於 ε。函數在 a 處連續，就是指其極限等於 f(a)。
操作方式
- 沿底邊拖曳 a，沿左邊拖曳 L；L 會吸附到極限值，之後隨 a 移動而跟著變化。拖曳視窗邊緣可嘗試自己的 δ，也可直接輸入任意值；保證成立的 δ 與最大的有效 δ 可設定本頁算出的兩種值。改變 f、a、L、ε 或逼近側別，會讓 δ 回到保證值。
- 簡報模式開啟適合投影的全螢幕視圖：空白鍵執行 ε → 0，← → 將 ε 乘以或除以 10，H 隱藏極限。分享可複製目前設定的連結。