La limite dans cette visualisation
La limite d’une fonction en un point a est L, notée , lorsque les valeurs de f peuvent rester aussi proches de L qu’on le souhaite en gardant x suffisamment proche de a — sans jamais considérer x = a lui-même. La formulation précise est la définition ε–δ (Cauchy et Weierstrass) : un défi ε et une réponse δ.
Sur le graphique, le défi est la bande rouge de demi-largeur ε autour de la droite bleue y = L ; ses bords en pointillés n’en font pas partie, puisque l’inégalité est stricte. La réponse est la fenêtre jaune de demi-largeur δ autour de a, privée de a : la condition exclut x = a, ce qui explique pourquoi un trou à cet endroit, ou une valeur f(a) placée ailleurs, ne change rien. La fenêtre convient si la courbe qu’elle contient reste dans la bande ; sinon, une croix jaune × marque un point qui en sort. Une limite unilatérale (x → a⁻ ou a⁺) utilise la moitié de la fenêtre. La limite, lorsqu’elle existe, est unique : deux valeurs ne peuvent pas convenir à toutes les bandes.
La page donne deux δ différents. Le δ garanti provient d’une inégalité valable pour tout x de la fenêtre : c’est donc une preuve. Pour x², le trou, le saut, sin(1/x) et 1/x², le plus grand δ a une forme explicite et constitue lui-même la garantie ; pour x·sin(1/x), la majoration donne δ = ε en 0, et pour sin x / x, la majoration donne . Pour ces deux fonctions, le plus grand δ est numérique : on suit la courbe morceau par morceau entre ses extrema, et chaque franchissement du bord de la bande est trouvé par dichotomie. Tout δ plus petit convient également ; δ n’est jamais unique.
À observer
- ε → 0 réduit la bande d’un facteur dix à chaque étape jusqu’à 10⁻⁶ et enregistre un δ à chaque niveau, tandis que la loupe agrandit de facteurs différents horizontalement et verticalement (son titre donne les deux). La vérification porte uniquement sur les niveaux affichés : une hypothèse fausse de moins de 10⁻⁶ les passerait tous.
- Trois façons d’échouer au même test : un saut (les limites à gauche et à droite diffèrent), une oscillation sans fin (sin(1/x) prend les valeurs 1 et −1 dans tout intervalle autour de 0) et une mauvaise hypothèse (L = 4.1 pour x² en 2 échoue dès que ε ≤ 0.1). L’oscillation seule ne suffit pas : x·sin(1/x) oscille autant et a pourtant pour limite 0. L’existence d’une limite dépend du point : sin(1/x) en a une en tout a ≠ 0. 1/x² n’a pas de limite finie en 0 ; les limites à l’infini ne sont pas traitées ici.
- Les saisies sont lues exactement comme des décimaux ou des fractions ; les décisions — existe-t-il un δ, le bord est-il atteint — sont donc exactes : avec L = 4.1 et ε = 0.1, |4 − L| vaut exactement ε. Une fonction continue en a a pour limite f(a) ; c’est précisément la continuité.
Commandes
- Faites glisser a le long du bord inférieur et L le long du bord gauche ; L s’aligne sur la limite, puis la suit lorsque a se déplace. Faites glisser les bords de la fenêtre pour essayer votre propre δ, ou saisissez une valeur ; δ garanti et Plus grand δ valide règlent les deux valeurs connues de la page. Modifier f, a, L, ε ou le côté remet δ à la valeur garantie.
- Le Mode présentation ouvre une vue en plein écran pour la projection : Espace lance ε → 0, ← → multiplient ou divisent ε par 10, H masque la limite. Partager copie un lien vers les réglages actuels.
Voir aussi
- D05Dérivée
- D07Approximation linéaire
- D34SériesÀ venir
- B08RadianÀ venir
Pour aller plus loin: Wikipédia: Limit of a function (Anglais); OpenStax, Calculus Volume 1, 2.5 The Precise Definition of a Limit (Anglais).