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Analisi matematica · Limite

Limite

Un limite descrive il valore a cui f(x) si avvicina quando x si avvicina ad a. Regola la fascia d’errore attorno a L e la finestra attorno ad a per capire cosa significa «arbitrariamente vicino».

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Il limite in questa visualizzazione

Il limite di una funzione ff in un punto a è L, scritto lim⁡x→af(x)=L\lim_{x\to a} f(x) = L, quando si possono mantenere i valori di f vicini a L quanto richiesto tenendo x sufficientemente vicino ad a — senza mai considerare x = a stesso. La forma precisa è la definizione ε–δ (Cauchy e Weierstrass): una richiesta ε e una risposta δ.

La definizione
∀ε>0 ∃δ>0:0<∣x−a∣<δ ⇒ ∣f(x)−L∣<ε\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0:\quad 0 < |x - a| < \delta \ \Rightarrow\ |f(x) - L| < \varepsilon

Sul grafico la richiesta è la fascia rossa di semilarghezza ε attorno alla retta blu y = L; i suoi bordi tratteggiati non ne fanno parte, perché la disuguaglianza è stretta. La risposta è la finestra gialla di semilarghezza δ attorno ad a, con un buco in a: la condizione 0<∣x−a∣0 < |x - a| esclude x = a, perciò un buco lì, o un valore f(a) definito altrove, non cambia nulla. La finestra funziona quando la curva al suo interno resta nella fascia; quando non accade, una × gialla segna un punto che esce. Un limite unilaterale (x → a⁻ oppure a⁺) usa metà finestra. Il limite, quando esiste, è unico: due valori non possono rientrare entrambi in ogni fascia.

La pagina indica due diversi δ. Il δ garantito viene da una disuguaglianza valida per ogni x nella finestra, quindi è una dimostrazione: per x², il buco, il salto, sin(1/x) e 1/x², il massimo δ ha una forma chiusa ed è esso stesso la garanzia; per x·sin(1/x) la stima ∣xsin⁡(1/x)∣≤∣x∣|x\sin(1/x)| \le |x| dà δ = ε in 0 e per sin x / x la stima 1−x2/6≤sin⁡x/x<11 - x^2/6 \le \sin x / x < 1 dà δ=6ε\delta = \sqrt{6\varepsilon}. Per queste ultime due funzioni il massimo δ è numerico: si segue la curva tratto per tratto tra i suoi punti di inversione e si trova ogni attraversamento del bordo della fascia per bisezione. Qualunque δ più piccolo funziona ugualmente; δ non è mai unico.

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Cosa osservare

  • ε → 0 restringe la fascia di un fattore dieci alla volta fino a 10⁻⁶ e registra un δ per ogni livello, mentre la lente ingrandisce con fattori diversi in orizzontale e verticale (il titolo li indica entrambi). Controlla soltanto i livelli mostrati: una previsione errata di meno di 10⁻⁶ li supererebbe tutti.
  • Tre modi per fallire lo stesso test: un salto (i limiti sinistro e destro sono diversi), un’oscillazione senza fine (sin(1/x) assume i valori 1 e −1 in ogni intervallo attorno a 0) e una previsione sbagliata (L = 4.1 per x² in 2 fallisce appena ε ≤ 0.1). L’oscillazione da sola non basta: x·sin(1/x) oscilla altrettanto e ha comunque limite 0. L’esistenza del limite dipende dal punto: sin(1/x) ne ha uno in ogni a ≠ 0. 1/x² non ha limite finito in 0; qui non si trattano i limiti all’infinito.
  • I dati inseriti sono letti esattamente come decimali o frazioni, quindi le decisioni — se esista un δ, se venga raggiunto il bordo — sono esatte: con L = 4.1 e ε = 0.1, |4 − L| è esattamente ε. Una funzione continua in a ha limite f(a); la continuità è proprio questa affermazione.
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Comandi

  • Trascina a lungo il bordo inferiore e L lungo quello sinistro; L si aggancia al limite e poi lo segue quando a si sposta. Trascina i bordi della finestra per provare un tuo δ oppure digita un valore; δ garantito e Massimo δ valido impostano i due valori noti alla pagina. Cambiare f, a, L, ε o il lato riporta δ al valore garantito.
  • Modalità presentazione apre una vista a schermo intero per proiettori: Spazio avvia ε → 0, ← → moltiplicano ε per 10 o lo dividono, H nasconde il limite. Condividi copia un link alla configurazione attuale.
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Concetti collegati

Per approfondire: Wikipedia: Limit of a function (Inglese); OpenStax, Calculus Volume 1, 2.5 The Precise Definition of a Limit (Inglese).