Teorema fundamental del cálculo: visualización interactiva

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El teorema fundamental del cálculo en esta visualización

El teorema fundamental del cálculo conecta la derivada y la integral. Su primera parte afirma que, si $f$ es continua en un intervalo que contiene $a$ , la función área (también llamada función de acumulación o integral con límite superior variable)

Parte 1

A(x) = \int_a^x f(t)\,dt \quad\text{tiene}\quad A'(x) = f(x)\text{.}

$A(x)$ también se escribe $\Phi(x)$ . De ahí se deduce la segunda parte: si $F$ es cualquier primitiva de $f$ , entonces $F - A$ tiene derivada 0, por lo que es constante, y

Parte 2

\int_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a).

La gráfica superior es $f$ ; la región sombreada va del límite inferior $a$ al superior x. La gráfica inferior es A, dibujada con el mismo eje horizontal. En $x$ , el segmento azul de arriba es la altura f(x). Donde $f$ es continua en $x$ , la tangente azul de abajo tiene exactamente esa pendiente: su ascenso en una unidad es el mismo segmento azul, porque ambas gráficas usan la misma escala. Donde $f$ salta, no hay tangente; las dos pendientes laterales se dibujan discontinuas. En la franja delgada de anchura Δx junto a $x$ , el área crece $\Delta A \approx f(x)\,\Delta x$ , así que $\Delta A / \Delta x \to f(x)$ : la barra de lecturas muestra este cociente y, debajo, la secante de la franja sobre $A$ , cuya pendiente es ese cociente, se convierte en tangente cuando $\Delta x \to 0$ . Donde $f$ salta, una franja a cada lado conserva su propia altura por delgada que sea.

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Cómo interpretarlo

El área tiene signo. Donde $f < 0$ , la región cuenta como negativa, así que $A$ decrece; donde $x < a$ , la integral va hacia atrás y se invierten todos los signos. Un cero de $f$ donde cambia de signo es un máximo o mínimo de $A$ ; un cero sin cambio de signo no lo es.
El teorema necesita que $f$ sea continua en $x$ . Donde $f$ salta, $A$ sigue siendo continua, pero tiene un punto anguloso: las pendientes laterales son los límites laterales de $f$ , y $A'(x)$ no existe. Para la función escalonada de aquí, $A$ se integra por tramos; ninguna primitiva única sirve a través del salto.
Cambiar $a$ añade una constante: $A(x) = F(x) - F(a)$ . Cuando $f$ es continua, toda función área es una primitiva, pero no toda primitiva es una función área: para $f = \cos$ , $\sin x + 5$ nunca es $\int_a^x \cos t\,dt$ , porque eso exigiría $\sin a = -5$ .
La letra $t$ es solo la variable de integración; $x$ es donde termina el área. Los valores de esta página proceden de fórmulas para el área — $F(x) - F(a)$ , por tramos en la función escalonada—, no de sumas numéricas. Para $e^{-t^2}$ , la fórmula usa la función de error $\operatorname{erf}$ .

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Dónde se utiliza

Calcular integrales definidas: encuentra cualquier primitiva y resta, en lugar de tomar un límite de sumas de Riemann.
Acumulación: el desplazamiento es la integral de la velocidad, y su tasa de variación es la propia velocidad. (La distancia recorrida es la integral de la rapidez $|v|$ ).
Definir nuevas funciones: $\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}$ y $\int_0^x e^{-t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf} x$ , que no tiene fórmula con funciones elementales; aun así, el teorema da su derivada, $e^{-x^2}$ .

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Controles

Arrastra por cualquiera de las gráficas para mover $x$ y arrastra la marca $a$ del eje superior para mover el límite inferior; en Límites, cada uno tiene una rueda para pasos finos y teclas con valores habituales que se alcanzan exactamente (π sigue siendo π).
En Franja delgada, un deslizador logarítmico fija la anchura $\Delta x$ desde 1 hasta 0.0001 (escribiéndola puede bajar a 0.000001), y una palanca sitúa la franja a la derecha de $x$ , a la izquierda o a ambos lados. Δx → 0 la hace diez veces más estrecha en cada paso, con una pausa en cada uno, y se queda al final; al pulsarlo allí, vuelve a empezar desde 0.5.
Modo presentación abre una vista a pantalla completa para proyectores (Espacio ejecuta Δx → 0, ↑ ↓ hacen la franja diez veces más ancha o estrecha, ← → mueven $x$ y H oculta el resto tenue de $A$ , su tangente y su pendiente).

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Conceptos relacionados

Para saber más: Wikipedia: Fundamental theorem of calculus (Inglés); OpenStax, Calculus Volume 1, 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Inglés).