Suma de Riemann: visualización interactiva

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La suma de Riemann en esta visualización

Una suma de Riemann aproxima la integral de $f$ en $[a, b]$ . Divide el intervalo en subintervalos $[x_{i-1}, x_i]$ , elige un punto de muestra $x_i^*$ en cada uno y suma $f(x_i^*)\,\Delta x_i$ . Esta página usa $n$ subintervalos iguales, así que todas las partes tienen la misma anchura:

Suma de Riemann

S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x, \qquad \Delta x = \frac{b-a}{n}.

La definición general permite subintervalos de distintas anchuras y cualquier punto de muestra en cada uno, y toma el límite cuando el subintervalo más ancho, $\lambda = \max \Delta x_i$ , tiende a 0; con subintervalos iguales, como aquí, $\lambda \to 0$ equivale a $n \to \infty$ .

Cada rectángulo amarillo se apoya en un subintervalo y llega a $f(x_i^*)$ , el punto amarillo de la curva; $S_n$ suma sus áreas con signo, por lo que un rectángulo bajo el eje x cuenta como negativo y puede sobresalir por encima de la curva o quedarse corto. La regla determina dónde está el punto de muestra: el extremo izquierdo $x_{i-1}$ , el derecho $x_i$ o el punto medio. La suma de trapecios une en cambio $f(x_{i-1})$ y $f(x_i)$ con una cuerda y equivale a la media de las sumas izquierda y derecha:

Suma de trapecios

T_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2}\,\Delta x = \frac{L_n + R_n}{2}.

n → ∞ duplica $n$ paso a paso hasta $n = 256$ , así que cada parte se divide en dos (si $n$ no es una potencia de dos, el primer paso sube a la siguiente potencia de dos). Para una función integrable, las sumas se aproximan a la integral definida, mostrada en azul:

Integral definida

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n = F(b) - F(a).

La página obtiene la integral exactamente de una primitiva $F$ , nunca de una suma con $n$ grande; el error es $S_n$ menos ese valor.

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En qué fijarse

El área tiene signo. Donde $f < 0$ , una pieza cuelga bajo el eje x; está rayada y cuenta como negativa. En $[0, 2\pi]$ , los dos arcos de $\sin x$ se anulan y la integral es 0.
Para una función creciente, la suma izquierda es demasiado pequeña y la derecha demasiado grande; para una decreciente ocurre al revés. La integral queda entre ambas.
La rapidez con que decrece el error depende de la regla. Para una función suave y $n$ grande, los errores izquierdo y derecho se comportan como $C/n$ , y los de punto medio y trapecio como $C/n^2$ ; por eso cada duplicación acaba reduciéndolos a la mitad o a la cuarta parte. Al principio, el factor puede variar (1.6 para las primeras sumas izquierdas de $x^2$ en $[0, 1]$ ) y, cuando se anula el término dominante, el error cae más deprisa: para $x^2$ en $[-1, 1]$ , los errores izquierdo y derecho ya van como $1/n^2$ . La gráfica de error de la barra de lecturas tiene ambas escalas logarítmicas, así que el factor aparece como la pendiente de cada recta: su logaritmo en base 2, pendiente 1 para un factor 2 y pendiente 2 para un factor 4. Izquierda y derecha caen suavemente; punto medio y trapecio, con aproximadamente el doble de inclinación, salvo donde se anula el término dominante.
Los errores del punto medio y el trapecio suelen tener signos opuestos. Para $f(x) = x^2$ , el error del punto medio es exactamente $-\tfrac12$ del error del trapecio, para todo $n$ .
La definición de integral permite partes desiguales y cualquier punto de muestra en cada una; las partes iguales con una regla fija son el caso particular dibujado aquí. El límite debe ser el mismo para todas esas elecciones cuando la parte más ancha tiende a 0.
En sentido estricto, la suma de trapecios no es una suma de Riemann (no hay un único punto de muestra por parte), pero, como media de las sumas izquierda y derecha, tiene el mismo límite. Las reglas de rectángulos y trapecios de integración numérica son estas sumas.

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Controles

Arrastra las líneas de puntos $x = a$ y $x = b$ o sus marcas en el borde inferior, gira las dos ruedas de Intervalo o escribe los extremos: se admiten π, 2π, π/2 y e. Las teclas bajo las ruedas los sitúan en valores exactos.
Las teclas de regla eligen dónde está el punto de muestra; bajo cada tecla figuran la suma y el error de esa regla para el $n$ actual, así que las cuatro se comparan de un vistazo. La gráfica entre la suma y la integral muestra la magnitud del error frente a $n$ para las cuatro reglas.
El mando fija $n$ en 1, 2, 4 … 256, una posición por duplicación; sus flechas van a la siguiente posición. Puede escribirse cualquier otro $n$ hasta 10 000. n → ∞ duplica $n$ paso a paso hasta 256 (primero hasta la siguiente potencia de dos) y se queda allí; al pulsarlo en 256 empieza de nuevo en 1. Modo presentación abre una vista a pantalla completa para proyectores (Espacio ejecuta n → ∞, ← → dividen n entre dos o lo duplican y H oculta las respuestas).

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Conceptos relacionados

D18Teorema fundamental del cálculo
D01Límite
D34SeriePrevisto
E18Integral doblePrevisto

Para saber más: Wikipedia: Riemann sum (Inglés); OpenStax, Calculus Volume 1, 5.1 Approximating Areas (Inglés); OpenStax, Calculus Volume 2, 3.6 Numerical Integration (Inglés).